Mathematics and applications of discrete Sobolev inequalities

2022年度は各種グラフ上の離散ソボレフ不等式の導出、最良定数・最良ベクトルの計算、および工学への応用研究を行った。得られた研究成果は以下の通りである。(1) 完全グラフにおけるl^p 型離散ソボレフ不等式の最良定数：N次完全グラフにおける減衰定数ありと減衰定数なしの2通りのl^p型離散ソボレフ不等式を導出して、その最良定数を求めた。l^p型とは大まかにいうと、完全グラフの各頂点にu(i) という平衡位置からの変位を表す量を配置して、絶対値 |u(i)| の最大値をグラフの各辺上の差分 u(i)-u(j) の l^p ノルムの定数 C 倍で評価するものである。定数 C の最小値が最良定数である。過去の研究では、p=2の場合に最良定数の具体的な値をグリーン行列の再生核構造を調べることによって求めたが、今回はより一般的に p>0の場合にグリーン行列を用いない初等解析的な方法で求めた。本研究成果は現在1編の論文として執筆中である。(2) 筋交い問題への応用：平面格子状に筋交いを複数入れた場合の強度を、離散ソボレフ不等式の最良定数を計算することによって評価する、という研究を2021年度より行っている。本研究で1行n列(n=3,4,5,6)の格子に筋交いを入れた場合、同じ向きに入れるより互い違いに入れた方が強度が増すことを数学的に示した。具体的には筋交い入り格子をグラフと見たときの離散ラプラシアン行列を導出して、そのペンローズムーア一般化逆行列を数値計算した。最良定数は一般化逆行列の対角線値の最大値に等しく、最良定数の大小を比較することによって筋交い格子の強度を見積もった。本研究は1編の論文として、RIMS Kokyuroku Bessatsu に掲載された。

2022年度は各種グラフ上の離散ソボレフ不等式の導出、最良定数・最良ベクトルの計算、および工学への応用研究を行った。得られた研究成果は以下の通りである。(1) 完全グラフにおけるl^p 型離散ソボレフ不等式の最良定数：N次完全グラフにおける減衰定数ありと減衰定数なしの2通りのl^p型離散ソボレフ不等式を導出して、その最良定数を求めた。l^p型とは大まかにいうと、完全グラフの各頂点にu(i) という平衡位置からの変位を表す量を配置して、絶対値 |u(i)| の最大値をグラフの各辺上の差分 u(i)-u(j) の l^p ノルムの定数 C 倍で評価するものである。定数 C の最小値が最良定数である。過去の研究では、p=2の場合に最良定数の具体的な値をグリーン行列の再生核構造を調べることによって求めたが、今回はより一般的に p>0の場合にグリーン行列を用いない初等解析的な方法で求めた。本研究成果は現在1編の論文として執筆中である。(2) 筋交い問題への応用：平面格子状に筋交いを複数入れた場合の強度を、離散ソボレフ不等式の最良定数を計算することによって評価する、という研究を2021年度より行っている。本研究で1行n列(n=3,4,5,6)の格子に筋交いを入れた場合、同じ向きに入れるより互い違いに入れた方が強度が増すことを数学的に示した。具体的には筋交い入り格子をグラフと見たときの離散ラプラシアン行列を導出して、そのペンローズムーア一般化逆行列を数値計算した。最良定数は一般化逆行列の対角線値の最大値に等しく、最良定数の大小を比較することによって筋交い格子の強度を見積もった。本研究は1編の論文として、RIMS Kokyuroku Bessatsu に掲載された。