Asymptotic analysis on PDEs appearing in mean field games, crystal growth and anomalous diffusion

平均场博弈、晶体生长和反常扩散中偏微分方程的渐近分析

• 批准号: 22K03382
• 负责人: 三竹 大寿
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03382/
• 关键词: ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式; 外力付グラフ型平均曲率流方程式; カプトー型時間分数冪拡散方程式; Hamilton-Jacobi方程式; 非局所偏微分方程式; 平均場ゲーム; 生成伝播型微分方程式

令和４年度は，(テーマ１) カプトー型時間分数冪拡散方程式の弱解の同値性，（テーマ２）ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の解の長時間挙動，（テーマ３）外力付等高面平均曲率流方程式のコーシー・ノイマン問題のリプシッツ評価について，幾つかの結果を得ることができた．テーマ１では，時間微分としてカプトー型時間分数冪微分を考えた拡散方程式について考察した．この方程式は，例えば土壌中の汚染物質の拡散など，不均質な媒体での拡散現象を記述する方程式として理論と応用の双方から注目を集めている．本研究では特に弱解の同値性について結果を得ることができた．微分できない解に対しては，超関数に基づく弱解の概念と，最大値原理に基づく粘性解の概念が標準的であるが，その同値性を証明することは簡単な方程式でも自明ではない．ここでは，レゾルベント型近似を用いて２つの同値性について示すことに成功した．テーマ２では，ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の解の長時間挙動について，長時間後の極限関数がどのように初期値に依存するかについて解明した．これらの解析では，偏微分方程式における粘性解理論が基本的な役割を果たしているが，従来の同理論に比べより一層，力学系理論との関連に注目してきた．具体的には，同方程式の背景にあるハミルトン系，又は確率ハミルトン系の関係を深めようとする弱Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）理論，またその一般化について，その発展させることで成功した．テーマ３では，同問題の解の時間大域的リプシッツ評価について，Bernsteinの方法から自然に現れる強圧性に相当する仮定を外力に加えて得ることに成功した．さらに，この仮定を外した場合には，時間大域的リプシッツ評価が得られないという例を構成して，仮定の最適性について示した．

Make annual は and 4, (テ ー マ 1) カ プ ト ー type time score a power company, weak solution to the dispersion equation is の の with numerical sex, (テ ー マ 2) ハ ミ ル ト ン · ヤ コ ビ · ベ ル マ ン equation の solution の 挙 move for a long time, (テ ー マ 3) force pay contour surface mean curvature flow equation is の コ ー シ ー · ノ イ マ ン problem の リ プ シ ッ ツ review 価 に つ い て, The results of several を を are る とがで とがで た た. テ ー マ 1 で は, the time differential と し て カ プ ト ー type time score power differential を exam え た company, dispersion equations に つ い て investigation し た. こ の equation は, example え ば の pollutants in the soil 壌 の company, scattered な ど, heterogeneity な media で の company account dispersion phenomenon を す る equation と し て theory と 応 with both の か ら attention を set め て い る. The results of this study on the で た characteristic に weak solution <s:1> homology に で て て て を are る る とがで た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た た Differential で き な い solution に し seaborne て は, number of super masato に base づ く と の concept, weak solution to the principle of maximum nt に base づ く の concept が standard on the viscosity solution of で あ る が, そ の with numerical sex を prove す る こ と は Jane 単 な equation で も self-evident で は な い. こ こ で は, レ ゾ ル ベ ン ト type approximate を with い て 2 つ の with numerical sex に つ い て in す こ と に successful し た. テ ー マ 2 で は, ハ ミ ル ト ン · ヤ コ ビ · ベ ル マ ン equation is の solution の long 挙 dynamic に つ い て, after long time の limit number of masato が ど の よ う に early numerical に dependent す る か に つ い て interpret し た. こ れ ら の parsing で は, partial differential equations に お け る viscosity solution theory が な "を cut fruit た し て い る が, 従 to の with theoretical に than べ よ り layer and mechanical system theory と の masato even に attention し て き た. Specific に は, with equation is の background に あ る ハ ミ ル ト ン department, and は probabilistic ハ ミ ル ト ン is の masato is を deep め よ う と す る weak Kolmogorov - Arnold - Moser (notes) theory, ま た そ の generalization に つ い て, そ の 発 exhibition さ せ る こ と で successful し た. テ ー マ 3 で は, with large の time domain の solutions リ プ シ ッ ツ review 価 に つ い て, Bernstein の way か ら natural に now れ る strong 圧 に quite す る 仮 set を に add force え て have る こ と に successful し た. さ ら に, こ の 仮 を outside し た occasions に は, time domain of リ プ シ ッ ツ review 価 が have ら れ な い と い を う cases constitute し て, set 仮 の optimum sex に つ い て in し た.

项目成果

Level-set forced mean curvature flow with the Neumann boundary condition

• DOI: 10.1016/j.matpur.2022.11.002
• 发表时间: 2021-08
• 期刊: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
• 作者: Jiwoong Jang;Dohyun Kwon;Hiroyoshi Mitake;H. Tran

On the equivalence of viscosity solutions and distributional solutions for the time-fractional diffusion equation

• DOI: 10.1016/j.jde.2022.01.057
• 发表时间: 2021-08
• 期刊: Journal of Differential Equations
• 影响因子: 2.4
• 作者: Y. Giga;Hiroyoshi Mitake;Shoichi Sato

On Lipschitz regularity for level-set forced mean curvature flow under the Neumann boundary condition

诺依曼边界条件下水平集强迫平均曲率流的Lipschitz正则

• 发表时间: 2022
• 作者: Mitake Hiroyoshi;Ninomiya Hirokazu;Todoroki Kenta;H. Mitake
• 通讯作者: H. Mitake

国際研究集会「Geometric Aspects of Partial Differential Equations」

国际研究会议“偏微分方程的几何方面”

• 发表时间: 2023

ウィスコンシン大学マディソン校(米国)

威斯康星大学麦迪逊分校（美国）