Analysis of asymptotic behaviors of branching Brownian motion within frontier

边界内分支布朗运动的渐近行为分析

• 批准号: 22K03427
• 负责人: 西森 康人
• 金额: $ 2.5万
• 依托单位: Anan National College of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03427/
• 关键词: 分枝ブラウン運動; maximum displacement; Feynman-Kac functionals; 分枝マルコフ過程; 分枝過程; マルコフ過程

分枝ブラウン運動の最遠方粒子までの距離に関する研究を行った。時刻tにおいて、原点から最も遠くにある粒子までの距離をL(t)で表す。分枝ブラウン運動から新たに定まるL(t)も確率過程である。このL(t)を適当な意味で‘近似’する非確率的関数R(t)を求めることが本研究の目的である。このR(t)を適切に定めることにより、半径R(t)の球面付近に存在する粒子の分布が、tを無限大にしたときに、ある確率変数をパラメータに含むポアソン分布に収束することを示した。これは時刻tが十分大きいとき、半径R(t)の球の表面付近にL(t)を実現する粒子とそれに近い粒子がどれくらい存在するか、という問いを明らかにできた結果である。しかも関数R(t)は次元数を含む。これは１次元の場合に知られていた結果よりも精密であり、新しい発見である。この論文が論文雑誌 Acta Applicandae Mathematicae に掲載されることが令和５年３月に決まった。次にL(t)とR(t)の誤差に関する研究に取り組んだ。つまり、L(t)-R(t)を適当なtの関数で割って、tを無限大にする極限を考えたとき、それがある定数に収束するかどうかを明らかにする研究である。１粒子の運動がブラウン運動に従う場合と対称安定過程に従う場合の２つについて研究に取り組んだ。１次元分枝ブラウン運動に関する先行研究であるBocharov(2021)の論文を読んで、その手法を学び、この方法を前述の２つのモデルに適用することを試みた。その研究過程で後者の対称安定過程のモデルについて、新しい発見があった。それは分枝対称安定過程に対するL(t)が指数的に増大するだろうという予測である。これについては次年度に明らかにすることを目標とする。

进行了一项研究，距离分支布朗运动的最远颗粒的距离进行了研究。在时间t，从原点到粒子最远的粒子的距离表示为l（t）。 l（t）是从分支布朗尼运动新确定的，也是一个随机过程。这项研究的目的是找到一个非传统函数r（t），该函数在适当的意义上“近似”该l（t）。通过正确定义此r（t），结果表明，在半径r（t）的球体附近存在的颗粒分布会收敛到泊松分布，该分布包含特定随机变量，当t是无限时的参数。这是澄清问题的结果，即有多少实现L（t）和最接近的颗粒在球体表面附近存在半径为r（t）。此外，函数r（t）包含尺寸的数量。这是一个比第一案例中已知的结果更精确和新发现。决定于2023年3月，本文将发表在《 Acta pepersantae Mathematicae》杂志上。接下来，我们研究了L（t）和R（t）之间的错误。换句话说，当l（t）-r（t）除以t的适当函数以确定当考虑t无限的极限时，它是否会收敛到一定常数。我们研究了两项研究：当粒子的运动跟随布朗运动时，当对称稳定过程随后。我阅读了Bocharov（2021）的一篇论文，这是一项关于一维分支布朗尼运动的研究，并学习了该方法，并试图将此方法应用于上述两个模型。在研究过程中，关于对称稳定过程的后一个模型有了新的发现。可以预测，针对分支对称稳定过程的L（t）将指数增加。目的是在下一个财政年度澄清这一点。