コロイド分散系における単一粒子運動の数理解析

令和 4 年度は ① 拡散性が揺らぐ一般化ランジュバン系 (GLEFD) の提案および理論解析と、②ガウシアンネットワークモデル (GNM) における一般化ランジュバンダイナミクスに関する理論解析を行った。① GLEFD の提案および理論解析: 2010年頃からランジュバン方程式の拡散係数を確率過程に拡張した「拡散性が揺らぐランジュバン方程式」が精力的に研究されてきた。しかし，平衡状態における「拡散性が揺らぐランジュバン方程式」は，(一分子計測実験でしばしば観測される) 非ガウス性を示すものの，異常拡散現象を記述できないということが問題であった。そこで，本研究課題では「一般化ランジュバン方程式」に拡散性の揺らぎを導入することで，新たな数理モデル 「GLEFD」 を構築した (マルコフ埋め込みという手法を用いた)。また，GLEFD が一般化された揺動散逸定理に従うことを示した。さらに具体例として，メモリーカーネルがベキ緩和する場合に，非ガウス性と異常拡散現象を示すことを理論的および数値的に確認した 。② GNM における一般化ランジュバンダイナミクスに関する理論解析: これまで，ラウスモデルなどの線形高分子の中心モノマーが一般化ランジュバン方程式にしたがうことが示されている。しかし，中心以外のモノマーや，線形高分子ではない場合(環状高分子など) のモノマーダイナミクスが，どのような発展方程式に従うかは不明であった。本研究課題では，拡張された GNM について，どのモノマーも一般化ランジュバン方程式で記述できることを示した。また，この一般化ランジュバン方程式のメモリーカーネルが，モノマーの平均 2 乗変位から計算できることも示した。平均 2 乗変位は実験において容易に観測できるため，この結果は特に重要であると考えている。

令和 4 年度は ① 拡散性が揺らぐ一般化ランジュバン系 (GLEFD) の提案および理論解析と、②ガウシアンネットワークモデル (GNM) における一般化ランジュバンダイナミクスに関する理論解析を行った。① GLEFD の提案および理論解析: 2010年頃からランジュバン方程式の拡散係数を確率過程に拡張した「拡散性が揺らぐランジュバン方程式」が精力的に研究されてきた。しかし，平衡状態における「拡散性が揺らぐランジュバン方程式」は，(一分子計測実験でしばしば観測される) 非ガウス性を示すものの，異常拡散現象を記述できないということが問題であった。そこで，本研究課題では「一般化ランジュバン方程式」に拡散性の揺らぎを導入することで，新たな数理モデル 「GLEFD」 を構築した (マルコフ埋め込みという手法を用いた)。また，GLEFD が一般化された揺動散逸定理に従うことを示した。さらに具体例として，メモリーカーネルがベキ緩和する場合に，非ガウス性と異常拡散現象を示すことを理論的および数値的に確認した 。② GNM における一般化ランジュバンダイナミクスに関する理論解析: これまで，ラウスモデルなどの線形高分子の中心モノマーが一般化ランジュバン方程式にしたがうことが示されている。しかし，中心以外のモノマーや，線形高分子ではない場合(環状高分子など) のモノマーダイナミクスが，どのような発展方程式に従うかは不明であった。本研究課題では，拡張された GNM について，どのモノマーも一般化ランジュバン方程式で記述できることを示した。また，この一般化ランジュバン方程式のメモリーカーネルが，モノマーの平均 2 乗変位から計算できることも示した。平均 2 乗変位は実験において容易に観測できるため，この結果は特に重要であると考えている。