Geometrical Analysis of Iterative Decoding

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Aus unseren bisherigen Arbeiten ergab sich eine geometrische Beschreibung des Surn-Product - Algorithmus für sogenannte analoge Compound-Codes, eine Verallgemeinerung von Turbo- Codes über kontinuierlichen reellen oder complexen Zahlenkörpern. Im analogen Fall konnten wir zeigen, dass die Decodierung auf der Grundlage des Sum-Product-Algorithmus vollständig mit der Entwicklung von Mittelwertsvektoren beschrieben werden kann, insbesondere folgte eine neue geometrische Beschreibung, die Aussagen zur Konvergenz gestattet. Auf der Grundlage unserer geometrischen Beschreibung konnten wir zeigen, dass die Decodierung analoger Codes durch iterative Projektionen auf Unterräume dargestellt werden kann, die Supercodes entsprechen. Diese Projektionen stellen sowohl individuell, d.h. bezogen auf die Supercodes, als auch insgesamt Optima bzgl. der kleinsten Quadrate dar. Weiterhin liefert die geometrische Analyse Kriterien zur Zerlegung der Paritätsmatrix und zur Wahl der optimalen Schrittweite im iterativen Algorithmus. Da die Analyse des Mittelwertvektors nicht sehr aufwändig ist und sich die Mittelwerte leicht im Euklid schen Raum verfolgen lassen, ist eines unserer Anliegen auch die Übertragung des Verfahrens auf Codes über diskreten Zahlenkörpern, wie Turbo- und LDPC (low-density parity-check) Codes, ebenso auf LDLC (low-density lattice codes). Insbesondere werden wir die Möglichkeiten ausleuchten, durch Betrachtung geometrischer Eigenschaften der Paritätsmatrizen und der Mittelwertenwicklung die Leistungsfähigkeit der iterativen Decodierung zu verbessern. In diesem Zusammenhang gehören auch offensichtliche Parallelen zwischen den Projektionen auf Unterräume, die durch Supercodes im analog Fall gebildet werden und der Definition von Polytopen, die Supercodes im diskreten Fall entsprechen. Wir erwarten von einer gemeinsamen Betrachtung ein intuitives Verständnis der iterativen Decodierung auch für gewöhnliche Turbo und LDPC Codes. Des weiteren versprechen wir uns Kriterien für die Optimierung der Konvergenzgeschwindigkeit.