半無限旗多様体を用いた量子Schubert calculusの研究

本研究では，一般旗多様体の同変量子K環の代数的構造を調べた．Buch-Chaput-Mihalcea-Perrinの結果により，同変量子K環の代数的構造は，Chevalley公式により決定される．そのため，Chevalley公式の組合せ論的な記述を目指した．研究計画では，Lenart-内藤-佐垣による旗多様体に対するChevalley公式を，加藤によるよい全射で一般旗多様体の同変量子K環へ写し，得られた一般旗多様体に対するChevalley公式のうち余分な項を打ち消すという流れを想定した．しかし，上述の打ち消しを記述するためには，量子Bruhatグラフを用いた複雑な場合分けが必要であり，困難であると判明した．そこで，新たにアフィンGrassmann多様体を利用することを試みた．加藤の結果により，アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環から一般旗多様体の同変量子K環へ，適切な局所化のもとで全射が存在する．アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環の記述ではYoung図形を利用でき，量子Bruhatグラフより簡潔である．そこで，この全射を用いて，アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環においてChevalley公式の打ち消しを記述することを目指した．2022年度は，C型のLagrangian Grassmann多様体に対して，Young図形を用いて打ち消しを記述し，既存の量子Bruhatグラフによる記述と同値であることを確かめた．また，この打ち消しが上述の全射の核を表すために十分な関係式であることを，大部分確かめた．並行して，C型の旗多様体の同変量子K環を，Laurent多項式環の剰余環として表示することを試み，その証明の大筋を得た．この表示も，最終目標である一般旗多様体の同変量子K環の代数的構造の決定に役立つと考えられる．

本研究では，一般旗多様体の同変量子K環の代数的構造を調べた．Buch-Chaput-Mihalcea-Perrinの結果により，同変量子K環の代数的構造は，Chevalley公式により決定される．そのため，Chevalley公式の組合せ論的な記述を目指した．研究計画では，Lenart-内藤-佐垣による旗多様体に対するChevalley公式を，加藤によるよい全射で一般旗多様体の同変量子K環へ写し，得られた一般旗多様体に対するChevalley公式のうち余分な項を打ち消すという流れを想定した．しかし，上述の打ち消しを記述するためには，量子Bruhatグラフを用いた複雑な場合分けが必要であり，困難であると判明した．そこで，新たにアフィンGrassmann多様体を利用することを試みた．加藤の結果により，アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環から一般旗多様体の同変量子K環へ，適切な局所化のもとで全射が存在する．アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環の記述ではYoung図形を利用でき，量子Bruhatグラフより簡潔である．そこで，この全射を用いて，アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環においてChevalley公式の打ち消しを記述することを目指した．2022年度は，C型のLagrangian Grassmann多様体に対して，Young図形を用いて打ち消しを記述し，既存の量子Bruhatグラフによる記述と同値であることを確かめた．また，この打ち消しが上述の全射の核を表すために十分な関係式であることを，大部分確かめた．並行して，C型の旗多様体の同変量子K環を，Laurent多項式環の剰余環として表示することを試み，その証明の大筋を得た．この表示も，最終目標である一般旗多様体の同変量子K環の代数的構造の決定に役立つと考えられる．