半無限旗多様体の同変 K-群とアフィン量子群のレベル・ゼロ表現の研究

複素単純代数群 G に付随する無限次元代数多様体である半無限旗多様体の (G の極大トーラス H に関する) 同変 K-群は、有限次元旗多様体 G/B の H-同変量子K-環と密接な関係がある事が知られている。特に、G/B のH-同変量子 K-環における反優整基本ウエイトに付随する直線束との量子積は、G に付随する半無限旗多様体の H-同変 K-群における同じウエイトに付随する直線束とのテンソル積により明示的に記述される事が分かっている。なお、半無限旗多様体の H-同変 K-群における、より一般の反優整ウエイトに付随する直線束とのテンソル積に関しては、佐垣大輔教授 (筑波大学)、D. Orr 教授 (Virginia 工科大学) とのこれまでの共同研究により、明示的な公式が得られている。但し、このテンソル積と、G/B の H-同変量子 K-環における同じ反優整ウエイトに付随する直線束との量子積との関係は、それほど単純ではない。本年度の研究成果として、佐垣大輔教授との共同研究により、ある種の形の (必ずしも反優とは限らない) 整ウエイトの場合にこれらの間の明示的な関係を記述する事ができた。そして、この明示的関係に基づいて、これまでに佐垣大輔教授、D. Orr 教授、C. Lenart 教授 (New York 州立大学) との共同研究により得られていた半無限旗多様体の H-同変 K-群における逆 Chevalley 公式を用いて、G/B の H-同変量子 K-環における幾つかの非自明な関係式を証明した。そしてさらに、G が A 型の場合に、G/B の H-同変量子 K-環を多項式環の具体的なイデアルによる剰余環としての表示を得る事ができた。さらに、各 Schubert 類の多項式代表として、量子二重 Grothendieck 多項式が取れる事も証明ができた。

複素単純代数群 G に付随する無限次元代数多様体である半無限旗多様体の (G の極大トーラス H に関する) 同変 K-群は、有限次元旗多様体 G/B の H-同変量子K-環と密接な関係がある事が知られている。特に、G/B のH-同変量子 K-環における反優整基本ウエイトに付随する直線束との量子積は、G に付随する半無限旗多様体の H-同変 K-群における同じウエイトに付随する直線束とのテンソル積により明示的に記述される事が分かっている。なお、半無限旗多様体の H-同変 K-群における、より一般の反優整ウエイトに付随する直線束とのテンソル積に関しては、佐垣大輔教授 (筑波大学)、D. Orr 教授 (Virginia 工科大学) とのこれまでの共同研究により、明示的な公式が得られている。但し、このテンソル積と、G/B の H-同変量子 K-環における同じ反優整ウエイトに付随する直線束との量子積との関係は、それほど単純ではない。本年度の研究成果として、佐垣大輔教授との共同研究により、ある種の形の (必ずしも反優とは限らない) 整ウエイトの場合にこれらの間の明示的な関係を記述する事ができた。そして、この明示的関係に基づいて、これまでに佐垣大輔教授、D. Orr 教授、C. Lenart 教授 (New York 州立大学) との共同研究により得られていた半無限旗多様体の H-同変 K-群における逆 Chevalley 公式を用いて、G/B の H-同変量子 K-環における幾つかの非自明な関係式を証明した。そしてさらに、G が A 型の場合に、G/B の H-同変量子 K-環を多項式環の具体的なイデアルによる剰余環としての表示を得る事ができた。さらに、各 Schubert 類の多項式代表として、量子二重 Grothendieck 多項式が取れる事も証明ができた。