Localization of Harish-Chandra modules and descent of rings of definition

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一般の基礎環及び基礎概型上定義された捻じれ D 加群の理論及びその表現論への応用を研究している。これまでの研究で一般の基礎概型上の捻じれ D 加群の理論及び部分旗概型上のある種の閉軌道をまとめることで表現の数論的モデルを得ることができた。今年度は、昨年度までにわかっていた閉軌道の定義環の降下を込めた分類について Brion--Helminck の結果の類似を考えることで連結なファイバーを持つ対称部分群の場合に見やすい形にまとめなおした。また、部分群のファイバーが非連結簡約群になっている場合に、ある簡単な条件のもとで同分類について一般化に成功した。これによりモデルの幾何的構成の適用範囲が広がった。構成した表現のモデル有限性について調べた。特に、基礎概型が Dedekind である場合には表現に定まるあるフィルターがある有限性を満たすことを証明した。この系として基礎概型がアファインである場合にその表現が座標環上の加群として射影的であることを証明した。これは 1 次元の Dedekind 整域上作った表現が体上の表現から直接得られない本質的に新しい表現であることを示唆している。以上の結果の論文での公表は一部準備中である。Barbasch--Higson--Subag の構成した複素・実縮約族に関する純代数幾何的な手法を与えた。また、群の縮約族の商を考えることを提示し、商の基礎的な構造を調べた。特に簡約群概型と放物型部分群の縮約の商が剰余標数に関する簡単な条件の下で概型になっていることを証明した。この概型は今年度までの捻じれ加群の数論的モデル以外の応用の舞台となることが期待される。また、実対称部分群の商の場合を考えることで異なる群の対称空間をつなぐ多様体の族を得た。