放物接続とそのモジュライ空間の研究

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本研究の目的は放物接続のモジュライ空間の双有理的な記述を一般の種数、階数に対して与えることである。3階以上のモジュライ空間の研究は少ない。そこで射影直線上の3点で確定特異点を持つ3階の放物接続のモジュライ空間についての詳細な解析を行った。この空間は3階以上の放物接続のモジュライ空間の中で次元が最小のものの一つであり、また離散パンルヴェ方程式との関係が知られている。この空間に対し次の研究を行った.はじめに、このモジュライ空間の自然なコンパクト化を構成しその具体的な記述を与えた。より正確には与えられた3点で高々1位の極持つ3階の放物 phi-接続のモジュライ空間の族が坂井氏のパンルヴェ方程式の研究で現れたA^(1)*_2型曲面の族と同型であることを示した。このことを証明するにあたり、まず高階の放物 phi-接続を定義し、そのモジュライ空間を構成した。これは2階の場合の稲場・岩崎・齋藤による結果の拡張とみなせる。その後、モジュライ空間の具体的な記述を見かけの特異点とその双対座標を用いることで行った。次に下部の放物ベクトル束と見かけの特異点の関係について調べた。2階の場合は代数曲線の種数に関係なく、放物接続のモジュライ空間が射影空間と放物ベクトル束のモジュライ空間の積多様体と双有理同値であることを見かけの特異点写像と接続を忘れる写像の積写像を通して証明できる。このことが高階の場合に成立するかは問題であったが、本研究の場合では積写像のgenericなファイバーは3点であり、一般には不成立であることが判明した。