Moduli spaces of harmonic maps

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今年度は、グラスマン多様体への調和写像に関する一般論を深化させ、そのモジュライ空間の一般的な記述に成功した。すでに得られていた結果をまとめた論文を再編集し、新たな結果を合わせ、論文として投稿した。高橋の定理とdo Carmo-Wallach（DW）理論の一般化を基盤とする本理論ではあるが、終域が球面の場合を対象とするオリジナルのDW理論と本質的に異なる現象が出現することが明確となった。これを理解するには、DW理論の一般化のために筆者が定義した「ゲージ同値性」による調和写像のモジュライ空間に、グラスマン多様体の普遍商束の引き戻し束上に誘導された接続のホロノミー群に対するベクトル束の構造群内における中心化群が作用することを前提とする必要がある。このこと自体はすでにわかっていたが、さらにオリジナルのDW理論で採用されていた「像同値性」の精密化の可能性が浮上した。その結果、一般論として、像同値性による調和写像のモジュライ空間がゲージ同値性によるモジュライ空間の上記した中心化群の作用による商空間であることを確立することができた。終域が球面の時にはホロノミー群も中心化群も自明となるため、この群作用を考慮する必要性はなく、その結果像同値性、ゲージ同値性によるモジュライ空間は一致する。そればかりではなく自然な位相によるコンパクト化を考えると、モジュライ空間の境界の点は他とは像同値ではない、より低次元の球面への調和写像に対応することがわかる。ところが一般には、境界にも中心化群が作用し、モジュライのコンパクト化の幾何学的意味が異なり、全測地的部分多様体であるグラスマン多様体を合わせて考える必要があることも理解できた。その結果、コンパクト化されたモジュライ空間の階層の重要性を認識できたことから、ある調和写像の「系列化にある調和写像」という概念を引き出すことに成功した。