Derived categories and Hall algebras

本年度は，Grothendieck群の自然なモノイド版であるGrothendieckモノイドについて研究した．これは元々完全圏のHall代数の自然な次数付けを与えるモノイドとして導入されたものであり，Hall代数の構造を解析する手がかりを与えるものである．これについてまず非特異射影曲線上の連接層の圏のGrothendieckモノイドの構造を決定した．また一般の完全圏に対してそのSerre部分圏とGrothendieckモノイドのフェイスと呼ばれる部分モノイドが一対一に対応することを示した．これにより特に非特異射影曲線上のベクトル束の圏は非自明なSerre部分圏を持たないという結果を得た．またフェイスによるSerre部分圏の分類を用いて，ネーター・スキームの位相構造がその連接層の圏のGrothendieckモノイドによって完全に決定されることを示した．さらに榎本悠久氏との共同研究において，三角圏と完全圏の同時一般化であるET圏のGrothendieckモノイドを導入し，主に次の三つを明らかにした：(1)ET圏のSerre部分圏と稠密2-out-of-3部分圏はそれぞれGrothendieckモノイドのフェイスとコファイナル・サブトラクティブ部分モノイドを用いて分類できる．(2)ET圏の部分圏による局所化のGrothendieckモノイドはそのET圏のGrothendieckモノイドの部分モノイドによる商として実現できる．(3)アーベル圏のGrothendieckモノイドの局所化は，我々が導入した導来圏の中間部分圏への包含関手を用いて圏化できる．

本年度は，Grothendieck群の自然なモノイド版であるGrothendieckモノイドについて研究した．これは元々完全圏のHall代数の自然な次数付けを与えるモノイドとして導入されたものであり，Hall代数の構造を解析する手がかりを与えるものである．これについてまず非特異射影曲線上の連接層の圏のGrothendieckモノイドの構造を決定した．また一般の完全圏に対してそのSerre部分圏とGrothendieckモノイドのフェイスと呼ばれる部分モノイドが一対一に対応することを示した．これにより特に非特異射影曲線上のベクトル束の圏は非自明なSerre部分圏を持たないという結果を得た．またフェイスによるSerre部分圏の分類を用いて，ネーター・スキームの位相構造がその連接層の圏のGrothendieckモノイドによって完全に決定されることを示した．さらに榎本悠久氏との共同研究において，三角圏と完全圏の同時一般化であるET圏のGrothendieckモノイドを導入し，主に次の三つを明らかにした：(1)ET圏のSerre部分圏と稠密2-out-of-3部分圏はそれぞれGrothendieckモノイドのフェイスとコファイナル・サブトラクティブ部分モノイドを用いて分類できる．(2)ET圏の部分圏による局所化のGrothendieckモノイドはそのET圏のGrothendieckモノイドの部分モノイドによる商として実現できる．(3)アーベル圏のGrothendieckモノイドの局所化は，我々が導入した導来圏の中間部分圏への包含関手を用いて圏化できる．