Functional equations for Nielsen polylogarithms and their arithmetic applications

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2022年度は二変数の理論に取り組んだ。二変数の理論については、(単価)ダイログの五項間関係式を二変数KZ方程式の解の接続関係として解釈する上野氏の結果がある。KZ方程式の係数環は非可換多項式環の商空間となるが、上野氏は適切な行列表現を構成することによって(すなわち多項式環の変数に適当な行列を代入することによって)二変数KZ方程式と二変数多重ポリログを結びつけた。本年度はその上野氏の結果を(やはりKZ方程式からの適切な表現を作ることにより)二変数超幾何方程式の解の接続関係として解釈し直すことを目標としていた。これは、係数環が商空間となるKZ方程式を直接考えるよりも、超幾何方程式に変換して考えたほうが扱いやすくなるためである。二変数超幾何関数のうち最も有名なAppellの超幾何関数は四種類あり、大井氏は二変数KZ方程式から、Appellの超幾何関数を解に持つような超幾何方程式への表現を構成している。しかし困ったことに、そのどれも上野氏の表現と一致しない。表現は一通りではないはずなので、上野氏の表現で得られる関数のモノドロミー等を調べることにより、その関数がどの超幾何関数に対応しているのか明らかにしたいと考えている。また二変数の理論が完成した後は、三変数の理論に移る。Zagierの予想の三変数版の解決において重要な役割を果たしたのは、Goncharov氏により得られた単価トリログの22(+1)項間関係式である。二変数版で得られた結果を元に、この22(+1)項間関係式を適切な三変数超幾何方程式の解の接続関係として解釈したいと考えている。