有限支配された空間と有限性障害の特徴づけ

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有限支配された空間が、有限CW複体のホモトピー型を持つかどうかを定める障害類が代数的K_<0->群に値をもつが、代数的K_<0->群を計算するために重要な元を実現する空間がないかを考察した。空間Xの有限性障害は、基本群の作用に強く依存していて、普遍被覆空間X^^〜の同変π_1(X)-空間としての有限性と関係している。さらに、分類写像X→Bπ_1(X)は、代数的K_<0->群の同形写像を誘導する。よって、分類空間Bπ_1(X)の有限性障害が、代数的K_<0->群を制御しているのではないかと考えられる。しかし、この有限性障害が代数的K_<0->群の元となるためには、分類空間が有限支配されなければならない。空間が有限支配されるかどうかは、次の2条件(a)各次元、有限個のセルをもつCW複体のホモトピー型をもつ。(b)有限次元CW複体のホモトピー型をもつ。を確かめることでわかる。一般に、分類空間BGが条件(b)を満たすためには、群のコホモロジー理論から、Gが離散群で、ねじれ元を持つことはできない。群Gのコホモロジー次元が有限ならば、分類空間BGは、条件(b)を満たす。このとき、Gが有限表示をもてば、(a)も満たすことが示せ、BGは有限支配されることがわかった。現在まで、有限支配されているが、有限CW複体のホモトピー型をもたない空間BG=K(G,1)は見つかっていない。さらに、Gがねじれ元を持たなければK^^〜_0(ZG)=0であるというW._<C->.Hsiangの予想を正当性を裏づける例が構成されている。その予想に関して、K(G,1)が有限CW複体のホモトピー型をもつという仮定のもとで考察した。