多様体上の大域的偏微分方程式の解空間の研究

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研究代表者は、非可換モノポール方程式の解空間を構成する立場から、まずk3曲面上のベクトル束から着手した。安定ベクトルのモジュライ空間のドナルドソンの考察と、対応する非可換モノポール方程式の解と安定ベクトル束との関係から、解空間が構成可能な例を探すことは難しくはなかった。しかし、安定ベクトルのモジュライ空間の考察で引き起こされる困難な問題の多くが、非可換モノポール方程式の解空間にも遺伝することがわかり、これらを一般化することはドナルドソン不変量の計算に寄与可能かどうか疑問に感じた。そこで微分幾何学的な手法で解空間の構造解析を行なうと、ドナルドソン不変量とサイバーグ・ウィッテン不変量の関係式を直接示すことが可能な4次元多様体の例として正則楕円曲面を含むあるクラスが見つかった。これらを拠り所にして、一般的の4次元多様体に対して非可換モノポール方程式の解空間と、その上の相関関数に対して成立すべき等式を類推し、現在その証明を与えている段階であるが、まだ疑問点も幾つか残っている。この類推の中で、代数幾何学的手法を用いて構成した最初の例も極めて有効であった。研究方法で述べたモノポール方程式の高次元多様体への一般化は、一般論として既にBradlow等によって与えられていることがわかった。しかし具体的な解空間の構成例を研究代表者は知らないので、まずそこから取り組んで行きたいと考えている。