非可換モノポール方程式の3・4次元不変量への応用

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研究代表者は、非可換モノポール方程式のモジュライ空間を、ある一般型代数曲面(K^2=2、p_g=3)上のある2次元複素ベクトル束に於いて構成した(平成10年7月、慶応大学で催されたセミナー等に於いて発表)。それにより、ドナルドソン不変量とサイバーグ、ウイッテン不変量との関係をこのモジュライ空間をとおして理解することを試み、実際、ドナルドソン不変量の主要項と呼ばれる部分とサイバーグ・ウイッテン不変量との間のコボルディズムを見出した。その中で、非可換モノポール方程式に対応する安定ベクトル束を使って、モジュライ空間を具体的に構成し、この場合は、1.モジュライ空間が底空間である代数曲面の対称積と複素数体との直積と双有理同形であり、2.その上の自然なS^1作用がゲージ群の中心で定理であるもののモジュライ空間への作用に対応し、3.その作用で割ったもの固定点集合は反自己双対接続のモジュライ空間と、また、境界はウーレンベック・コンパクト化に対応し、4.2次元ホモロジーが定める相関関数は底空間の対称積の中でのポアンカレ双対に対応し、5.このモジュライ空間は滑らかではないが、重複度2であることがわかった。この例は、非可換モノポール方程式のモジュライ空間のコンパクト化の様相を知るために、反自己双対接続のモジュライ空間の構成を模倣することによってなされた。