Yang-Baxter方程式のBelavin解から得られる絡み目の不変量の研究

本研究の第一の目的は、Yang-Baxter方程式のBelavin解として知られる楕円R行列を用いて、ソリッド・トーラス内に埋め込まれた、絡み目の位相不変量を構成することである。ここで、絡み目のソリッド・トーラス内への埋め込まれ方を特徴付けるために重要な鍵となるのが、楕円R行列とある種の交換関係を満たすL-operatorと呼ばれる行列である。本年度の研究では、まず特殊な場合として、Belavin解の場合と同様の交換関係を満たす、R行列とL-operatorに、統計力学において、XXZ modelとして知られている可解模型から得られる解について考察した。不変量構成のためには、L-operatorに対応させるべき、幾何的対象(ダイヤフラム)をうまく選ばなければならないが、これを決定することができた。XXZ modelに付随するR行列は、量子群Uq(sl_2)のspin1/2表現と関係しているため、私のこれまでの研究結果とほぼ平行した議論を展開できるが、今回のL-operatorを用いて構成される不変量は、これまでのもののある種の拡張となっていることが明らかになった。また、この不変量はUq(sl_2)に値をもつとみなすことができるが、パラメータとして含まれるUq(sl_2)の生成元の幾何学的特徴付けは今後の課題となった。以上の予備的研究により、楕円解版不変量への拡張のためには、creation及びamihilation operatorの決定を残すのみとなった。今後、この部分の完成を目指すことはもちろんであるが、最近のHaving-Oldenburgの結果との関連性、即ち、反射境界をもつPotts model或いは、B-type knot Theonyとの関係について調べることも興味深く、この方向へも研究を進めていく予定である。

本研究の第一の目的は、Yang-Baxter方程式のBelavin解として知られる楕円R行列を用いて、ソリッド・トーラス内に埋め込まれた、絡み目の位相不変量を構成することである。ここで、絡み目のソリッド・トーラス内への埋め込まれ方を特徴付けるために重要な鍵となるのが、楕円R行列とある種の交換関係を満たすL-operatorと呼ばれる行列である。本年度の研究では、まず特殊な場合として、Belavin解の場合と同様の交換関係を満たす、R行列とL-operatorに、統計力学において、XXZ modelとして知られている可解模型から得られる解について考察した。不変量構成のためには、L-operatorに対応させるべき、幾何的対象(ダイヤフラム)をうまく選ばなければならないが、これを決定することができた。XXZ modelに付随するR行列は、量子群Uq(sl_2)のspin1/2表現と関係しているため、私のこれまでの研究結果とほぼ平行した議論を展開できるが、今回のL-operatorを用いて構成される不変量は、これまでのもののある種の拡張となっていることが明らかになった。また、この不変量はUq(sl_2)に値をもつとみなすことができるが、パラメータとして含まれるUq(sl_2)の生成元の幾何学的特徴付けは今後の課題となった。以上の予備的研究により、楕円解版不変量への拡張のためには、creation及びamihilation operatorの決定を残すのみとなった。今後、この部分の完成を目指すことはもちろんであるが、最近のHaving-Oldenburgの結果との関連性、即ち、反射境界をもつPotts model或いは、B-type knot Theonyとの関係について調べることも興味深く、この方向へも研究を進めていく予定である。