Quantum groups and K-theory

ひきつづき、局所コンパクト量子群とよばれる、作用素環の言葉で記述される量子群や、その作用について調べている。本年度ではこれらについて以下のことが分かった。まず、部分的にポントリャーギン双対をとることで得られるような局所コンパクト量子群のペアについて、両者のC*環への作用の間によい双対性があることを示した。これはTakesaki-Takai双対性やBaaj-Skandalis双対性として従来より知られていた主張の一般化である。この双対性は同変Kasparov理論の間の圏同値を与えている。特に興味ある場合として、量子ダブルという構成法からくるケースがある。このような量子群の作用を持つC*環に対しては捻られたテンソル積を考えることができる。このとき、上の双対性がこの捻られたテンソル積から誘導されるモノイダル構造を保つことが分かった。また、以上の結果を量子ダブルに関するBaum-Connes予想の類似に応用した。それとともに、コンパクト半単純リー群からgraded twistingという構成で得られる量子群の旗多様体について、量子ダブルの作用に関する同変Kasparov理論を決定した。以上のものとは別の結果として、複素半単純リー群のq変形にあたる局所コンパクト量子群の離散量子部分群を分類した。また、その帰結として、複素半単純リー群のq変形は商空間が有限不変測度の類似を持つような離散量子部分群を持たないことが分かった。これは古典的なリー群が格子をもつこととは対照的な状況である。

ひきつづき、局所コンパクト量子群とよばれる、作用素環の言葉で記述される量子群や、その作用について調べている。本年度ではこれらについて以下のことが分かった。まず、部分的にポントリャーギン双対をとることで得られるような局所コンパクト量子群のペアについて、両者のC*環への作用の間によい双対性があることを示した。これはTakesaki-Takai双対性やBaaj-Skandalis双対性として従来より知られていた主張の一般化である。この双対性は同変Kasparov理論の間の圏同値を与えている。特に興味ある場合として、量子ダブルという構成法からくるケースがある。このような量子群の作用を持つC*環に対しては捻られたテンソル積を考えることができる。このとき、上の双対性がこの捻られたテンソル積から誘導されるモノイダル構造を保つことが分かった。また、以上の結果を量子ダブルに関するBaum-Connes予想の類似に応用した。それとともに、コンパクト半単純リー群からgraded twistingという構成で得られる量子群の旗多様体について、量子ダブルの作用に関する同変Kasparov理論を決定した。以上のものとは別の結果として、複素半単純リー群のq変形にあたる局所コンパクト量子群の離散量子部分群を分類した。また、その帰結として、複素半単純リー群のq変形は商空間が有限不変測度の類似を持つような離散量子部分群を持たないことが分かった。これは古典的なリー群が格子をもつこととは対照的な状況である。