アファインDeligne-Lusztig多様体とその応用

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今年度も引き続きアファインDeligne-Lusztig多様体の幾何学に関する研究を行った。今年公開した成果としては(1)その単純な幾何構造に関するものと(2)既約成分と結晶基底の関係に関するものとがある。(1)ではGLnの場合の一部で単純な幾何構造が誘導されるための条件を発見し、実際に誘導されることを証明した。その後この結果は一般の場合でも類似の事実が成立することがHe-Nie-Yuにより証明された。アファインDeligne-Lusztig多様体が単純な幾何構造を持つ場合は多くの応用があり、今後の展望としてはそうした応用の考察が考えられる。具体的には例えばその場合のコホモロジーを用いた局所Langlands対応の実現があり、これは本研究の目的であった。(2)ではGLnのsuperbasicと呼ばれる場合でアファインDeligne-Lusztig多様体の各既約成分を対応する結晶基底から構成する方法を発見し、証明した。アファインDeligne-Lusztig多様体の既約成分の集合は結晶基底と自然に全単射になることが知られており、対応する結晶基底とはこの全単射で対応するものである。各既約成分を対応する結晶基底から構成するGLnの場合のこの結果の類似もより一般の簡約代数群に対して成立する可能性があり、今後の展望としてそうした方針も示唆される。またこうした結果は志村多様体のコホモロジーに関する予想(Tate予想)への応用の実績があるため、それが一般に得られればこれまで知られている場合以外でも同様の応用を行えると考えられる。