志村多様体論的手法によるGalois表現の変形理論の研究

今年度は, 本研究と関連が深い志村多様体の数論幾何およびに関連する代数群の整数論について研究を行った. 以下, その詳細について説明する.Pei-Xin Liang氏(国立精華大学), Hsin-Yi Yang氏(パリ・サクレー大学), Chia-Fu Yu氏(中央研究院)と共同で, CM代数に付随するトーラスの玉河数について研究を行った. このトーラスは, A型PEL型志村データに現れる群であるCMユニタリ群と密接に関係していることが知られている. その結果, すべての2の整数べきが上述のトーラスの玉河数として実現されることを証明した. さらに, この定理の証明を行う過程で, CM代数に付随するトーラスのTate-Shafarevich群がGalois群の指標群の言葉で記述できることも得られた. これらの結果は論文として公表済みであり, 現在投稿中である. さらに, 上記の玉河数の結果をD型のPEL志村データに現れる群に対して一般化することにも成功した. 証明の鍵は, Colliot-Theleneによって構築された連結簡約代数群の脆弱分解の理論を利用して, 考察すべき群の数論的性質を前述のCM代数に付随するトーラスまたはその変種に対する同様の問題に帰着することである. この結果については, 現在論文を執筆中である.一方で, CMユニタリ群に対する志村多様体において, 素数pでの特殊ファイバー内の点のpと互いに素なHecke作用による軌道についても研究を行った. そして, ある\mu-通常点の軌道が稠密とはなり得ないような志村多様体の例を構成した. この結果に関して特筆すべき点は, pでの特殊ファイバーが滑らかな場合で同様の現象は起こりえないことである.

今年度は, 本研究と関連が深い志村多様体の数論幾何およびに関連する代数群の整数論について研究を行った. 以下, その詳細について説明する.Pei-Xin Liang氏(国立精華大学), Hsin-Yi Yang氏(パリ・サクレー大学), Chia-Fu Yu氏(中央研究院)と共同で, CM代数に付随するトーラスの玉河数について研究を行った. このトーラスは, A型PEL型志村データに現れる群であるCMユニタリ群と密接に関係していることが知られている. その結果, すべての2の整数べきが上述のトーラスの玉河数として実現されることを証明した. さらに, この定理の証明を行う過程で, CM代数に付随するトーラスのTate-Shafarevich群がGalois群の指標群の言葉で記述できることも得られた. これらの結果は論文として公表済みであり, 現在投稿中である. さらに, 上記の玉河数の結果をD型のPEL志村データに現れる群に対して一般化することにも成功した. 証明の鍵は, Colliot-Theleneによって構築された連結簡約代数群の脆弱分解の理論を利用して, 考察すべき群の数論的性質を前述のCM代数に付随するトーラスまたはその変種に対する同様の問題に帰着することである. この結果については, 現在論文を執筆中である.一方で, CMユニタリ群に対する志村多様体において, 素数pでの特殊ファイバー内の点のpと互いに素なHecke作用による軌道についても研究を行った. そして, ある\mu-通常点の軌道が稠密とはなり得ないような志村多様体の例を構成した. この結果に関して特筆すべき点は, pでの特殊ファイバーが滑らかな場合で同様の現象は起こりえないことである.