高階放物型問題に対する漸近解析の新展開

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本研究課題は, 高階放物型方程式に対する新たな解析手法を構築することを目指すものである. この目的を達成すべく, 本年度は最も単純な高階放物型方程式の一つとして知られる多重調和熱方程式に対する解の定性的性質及び基本解の性質を中心により詳しい解析・考察を進めた. 以下, 本年度の研究内容について具体的に述べる.まず線形多重調和熱方程式に対して, 局所可積分な球対称斉次関数を初期値とした際に得られる自己相似解の性質について考察した. 二階の場合に対応する熱方程式の場合と異なり, 上述の自己相似解はその減衰速度に応じて正値関数となるか否か変化することが, 当研究員の研究により判明している. また, ここで現れる減衰速度の閾値は初期値問題の解の本質的正値性が得られるか否かを分ける初期値の減衰速度の閾値と対応している. 本年度は, 上述の自己相似解がみたす高階常微分方程式の導出・解析を行い, 自己相似解の漸近挙動及び符号に関する性質について, 先行研究で得られた結果を部分的に改良することに成功した.また, 同方程式に対する初期値問題の有界な解が各点で零に減衰するための必要十分条件について考察した. 同問題について, 熱方程式に対しては Repnikov-Eidelman により証明され, その後線形多重調和熱方程式の場合にも同様の手法を用いて証明が与えられている. これらの先行研究における証明は Wiener 型の Tauberian 定理と呼ばれるフーリエ変換の性質を介したものであったが, 本研究では基本解表示を用いて直接的に証明することを目指して解析を行った. 熱方程式の場合には基本解表示を用いた直接的な証明方法が知られているため, 同様の方法を用いるために必要となる多重調和熱方程式の基本解の性質及び漸近挙動について考察し, 必要となる性質について部分的に証明を与えた.