同変玉河数予想の具体的帰結と解決へ向けた新戦略

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Burns教授と栗原教授との共同研究で一般Stark元の理論を完成させ、Burns教授との共同研究で高階Kolyvagin系の理論をある段階まで完成させた。以下、それぞれについて具体的に説明する。前者に関して、Rubin-Stark元の一般のTateモチーフに対する一般化として一般Stark元を定義し、それらがSelmer群の高次Fittingイデアルと関係すること、また２つの異なる一般Stark元の間にある合同式が成り立つことを予想として定式化した。さらにそれらの予想と同変玉河数予想との関係を与え、また、一般Stark元の間の合同式予想は、基礎体が有理数体や総実体などのいくつかの場合には明示相互法則やDeligne-Ribetの結果を用いて正しいこと、また、SolomonによるRubin-Stark元に対する明示相互法則の精密化となっていることなどを証明した。後者に関して、高階Euler系の定義を一般的に与え、高階Euler系のなす加群の中に十分大きな部分加群を構成し、その部分加群に属する高階Euler系からは高階Kolyvagin系が自然に構成できることを示した。さらに、Stark系の理論を一般的な係数環上で展開し、Selmer群の高次FittingイデアルをStark系を用いて決定した。この研究の過程で、２つの異なるRubin-Stark元の間の合同式予想を一般のp進表現に対して一般化した。これによりDarmon予想の一般のp進表現に対する一般化を、以前の研究で定式化したものよりも精密な形で得ることができた。今後は高階Euler、Kolyvagin系の理論のさらなる発展を目指す。また、一般Stark元の関数等式との整合性、Coleman理論との関係などについて研究を進める．