マルコフ過程の線形増大に関する現象の普遍性

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本年度は、リーマン多様体上のブラウン運動の動径過程に対して、Berry-Esseen 型定理の研究に取り組んだ。双曲空間上のブラウン運動の動径過程に対しては、確率微分方程式の解としての表示を用いて、中心極限定理が示される。一方で、Berry-Esseen 型定理の導出について検証を行ったところ、中心極限定理には影響しないような、低次のランダムな剰余項の解析が必要であることが判明した。特に確率微分方程式の解による表示および１次元拡散過程の Feller 判定法のみでは、解析が困難であることが予想された。一方で、3次元の場合には推移確率が初等的に表示されることを用いて、Berry-Esseen 型定理を示すことができた。特に、収束レートは通常の Berry-Esseen 型定理と変わらないことが分かった。研究計画策定時には、推移確率の表示が一般には困難であることから、確率微分方程式の解を通じた解析手法を想定していた。しかし、研究開始後の調査により、推移確率については、Gruet (1996) により積分表示が得られていることが判明した。３次元の場合の考察を合わせて、推移確率の表示を積極的に取り入れる方針に変更した。この表示の漸近解析を行い、Berry-Esseen 型定理を証明するという方針が立った。本課題採択の直前に、一般化エレファントランダムウォークと呼ばれる、過去全体の挙動に依存したマルコフ過程のモデルについて極限定理を導出し、論文を執筆および投稿した。このモデルも、ドリフトと相関の強さに応じて、増大度に関して（劣）線形性を有するとともに、その中心化が中心極限定理をみたす。このモデルの解析は、研究計画策定時には想定していなかった。しかし、本研究課題に関わることから、本研究課題に関する研究活動の一環として、この研究成果をセミナーで発表をするとともに、研究打ち合わせを行った。