マルコフ過程の線形増大に関する現象の普遍性

与马尔可夫过程线性增长相关的现象的普遍性

• 批准号: 22K18675
• 负责人: 塩沢 裕一
• 金额: $ 2.41万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-06-30 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K18675/
• 关键词: ブラウン運動; 双曲空間; Berry-Esseen 型定理; エレファントランダムウォーク; マルコフ過程; 分枝ブラウン運動; 線形増大

本年度は、リーマン多様体上のブラウン運動の動径過程に対して、Berry-Esseen 型定理の研究に取り組んだ。双曲空間上のブラウン運動の動径過程に対しては、確率微分方程式の解としての表示を用いて、中心極限定理が示される。一方で、Berry-Esseen 型定理の導出について検証を行ったところ、中心極限定理には影響しないような、低次のランダムな剰余項の解析が必要であることが判明した。特に確率微分方程式の解による表示および１次元拡散過程の Feller 判定法のみでは、解析が困難であることが予想された。一方で、3次元の場合には推移確率が初等的に表示されることを用いて、Berry-Esseen 型定理を示すことができた。特に、収束レートは通常の Berry-Esseen 型定理と変わらないことが分かった。研究計画策定時には、推移確率の表示が一般には困難であることから、確率微分方程式の解を通じた解析手法を想定していた。しかし、研究開始後の調査により、推移確率については、Gruet (1996) により積分表示が得られていることが判明した。３次元の場合の考察を合わせて、推移確率の表示を積極的に取り入れる方針に変更した。この表示の漸近解析を行い、Berry-Esseen 型定理を証明するという方針が立った。本課題採択の直前に、一般化エレファントランダムウォークと呼ばれる、過去全体の挙動に依存したマルコフ過程のモデルについて極限定理を導出し、論文を執筆および投稿した。このモデルも、ドリフトと相関の強さに応じて、増大度に関して（劣）線形性を有するとともに、その中心化が中心極限定理をみたす。このモデルの解析は、研究計画策定時には想定していなかった。しかし、本研究課題に関わることから、本研究課題に関する研究活動の一環として、この研究成果をセミナーで発表をするとともに、研究打ち合わせを行った。

今年，我们研究了Berry-Esseen类型定理，讨论了Riemann歧管上的Brownian运动的径向过程。对于双曲线空间中布朗运动的径向过程，使用表示形式显示了中心极限定理作为对随机微分方程的解决方案。另一方面，当我们研究浆果式定理的推导时，发现对不影响中心极限定理的低阶随机剩余术语的分析是必要的。据预测，特别是仅使用溶液来进行随机微分方程的介绍和确定一维扩散过程的伐木方法，这将是困难的。另一方面，可以使用以下事实来显示浆果 - 埃森类型定理，即在三个维度的情况下显示过渡概率是基本的。特别是，发现收敛速率与常规浆果定理没有什么不同。在制定研究计划时，通常很难显示进展的概率，因此假定通过解决随机微分方程的解决方案进行分析方法。但是，研究开始后的研究表明，过渡概率的整体表示是Gruet（1996）获得的。在三个维度的情况下，该策略已更改为积极地纳入趋势概率的显示，并将注意事项结合在一起。该政策是对此显示的渐近分析进行渐近分析，并证明Berry-Esseen类型定理。就在采用这项任务之前，为马尔可夫的过程模型得出了一个有限的定理，该过程依赖于整个过去的行为，称为广义大象随机步行，并提交了论文。该模型还具有（深）线性的增加程度，具体取决于漂移和相关性的强度，其居中着眼于中心极限定理。制定研究计划时，对该模型的分析无意。但是，由于本研究主题，作为与该研究主题有关的研究活动的一部分，该研究的结果在研讨会上介绍并举行了研究会议。

项目成果

Limiting behaviors of generalized elephant random walks

• DOI: 10.1063/5.0105789
• 发表时间: 2022-06
• 期刊: Journal of Mathematical Physics
• 影响因子: 1.3
• 作者: Yuichi Shiozawa

Remarks on the limiting behaviors of generalized elephant random walks

关于广义大象随机游走的极限行为的评论

• 发表时间: 2022
• 作者: Shiozawa Yuichi;大山 陽介;塩沢 裕一
• 通讯作者: 塩沢 裕一