Representation theory over local rings

局部环的表示论

基本信息

  • 批准号:
    EP/T004592/1
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 49.76万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    英国
  • 项目类别:
    Research Grant
  • 财政年份:
    2020
  • 资助国家:
    英国
  • 起止时间:
    2020 至 无数据
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

A group is an abstract structure which can arise in almost any area of mathematics or in physics. As such it is universal and can be a means of bridging disparate areas. Some examples of groups are the integers (with addition), the symmetries of a polyhedron (with composition of symmetries) or the fundamental group of paths on a surface. To understand these abstract objects, we need to represent a group in some way. We do this by considering it as a collection of transformations of space. The group may already have natural representations, as happens often in physics, e.g., orthogonal groups, or they may be obscure and involve transformations of very high dimensional spaces (for example the 'monster' sporadic group requires a 196,883 dimensional space). Further we need to study not just one representation of a group, but the entirety of the representations of that group. An object capturing this information is a module category. Our interest is in the modular representations of a group, that is, those over a field of prime characteristic p. Here it makes sense to refine our module category. Instead of studying the group itself, we study its blocks. The study of the module category of a group amounts to study of the module category of each block in turn. It has long been realised that rather than just study representations with respect to a field, it is beneficial to use a local ring as a bridge to connect representations in characteristic zero (classical representation theory) to those in characteristic p (modular representation theory). This approach has been so successful that we are increasingly studying representation theory with respect to local rings in its own right. The overarching theme of this project is the exploitation of this approach in new ways, developing three interrelated bodies of theory aimed at shedding light on some of the big problems of modular representation theory.One theory, which has been little explored, is to take certain quotients of blocks (i.e., smaller objects) which are just large enough to contain information that we are interested in with respect to whichever problem we are looking at. This can usually only be done in the context of local rings. A large part of this project will be laying the foundations of this approach, together with the calculations of examples needed to see patterns on which we can base theory. The famous Alperin-McKay conjecture from the 1970's is an example where this approach will be used. Another theory is the study of the Picard group of a block, which is related to the block's self-similarities. The Picard group defined over a local ring is particularly amenable to study, as shown recently by Boltje, Kessar and Linckelmann, and has been used by Eaton to great effect to analyse module categories very precisely. A main theme of this project is to develop our understanding of Picard groups, and answer some outstanding question regarding their size and structure, as well as developing their application. The study of Picard groups of the quotient objects described above will further bring together the themes of the project.The third theory concerns the realisation of modules and algebras of small fields and associated local rings and the relationships between them. This promises to be a powerful viewpoint for examining existing conjectures and Picard groups.The main outcomes of the project will be on the one hand new theory and techniques which will spur further research, and on the other data about blocks, their Picard groups and their quotient objects, which will be incorporated into Eaton's website cataloguing blocks of finite groups.The project involves knowledge of representation theory, group theory, homological algebra, and number theory, and will benefit from collaborations with the strong algebra community both in the UK and outside.
群是一种抽象的结构,它几乎可以出现在数学或物理的任何领域。因此,它是通用的,可以成为连接不同领域的一种手段。群的一些例子是整数(有加法),多面体的对称(有对称的组合)或表面上的基本路径群。为了理解这些抽象对象,我们需要以某种方式表示一个组。我们把它看作是空间变换的集合。这个群可能已经有了自然的表示,就像在物理学中经常发生的那样,例如正交群,或者它们可能是模糊的,并且涉及到非常高维空间的变换(例如“怪物”零星群需要196,883维空间)。进一步说,我们不仅要研究一个群体的一种表现,还要研究整个群体的表现。捕获此信息的对象是模块类别。我们感兴趣的是群的模表示,也就是素数特征p域上的模表示。在这里,细化我们的模范畴是有意义的。我们不是研究群体本身,而是研究它的块。对一个组的模块类别的研究相当于对每个块的模块类别的研究。人们早就意识到,与其仅仅研究关于一个域的表示,还不如使用局部环作为连接特征0(经典表示理论)和特征p(模表示理论)中的表示的桥梁。这种方法是如此成功,以至于我们越来越多地研究关于局部环的表征理论。这个项目的首要主题是以新的方式利用这种方法,发展三个相互关联的理论体系,旨在阐明模块化表示理论的一些大问题。一个很少被探索的理论是,取一定的块(即较小的物体)的商数,这些块的大小足以包含我们对正在研究的任何问题感兴趣的信息。这通常只能在局部环的上下文中完成。这个项目的很大一部分将为这种方法奠定基础,同时还需要计算一些例子,以看到我们可以建立理论的模式。上世纪70年代著名的Alperin-McKay猜想就是使用这种方法的一个例子。另一个理论是对街区皮卡德群的研究,这与街区的自相似性有关。在局部环上定义的皮卡德群特别适合研究,正如Boltje, Kessar和Linckelmann最近所表明的那样,并且已经被Eaton用于非常精确地分析模块类别。这个项目的一个主要主题是发展我们对皮卡德群的理解,并回答一些关于它们的大小和结构的突出问题,以及开发它们的应用。对上述商对象的皮卡德群的研究将进一步汇集该项目的主题。第三个理论涉及小域和相关局部环的模和代数的实现以及它们之间的关系。这有望成为检验现有猜想和皮卡德群的有力观点。该项目的主要成果一方面是促进进一步研究的新理论和技术,另一方面是关于块、它们的皮卡德群和它们的商对象的数据,这些数据将被纳入伊顿有限群块编目网站。该项目涉及表征理论、群论、同调代数和数论的知识,并将受益于与英国和国外强大的代数社区的合作。

项目成果

期刊论文数量(10)
专著数量(0)
科研奖励数量(0)
会议论文数量(0)
专利数量(0)
On the BV structure of the Hochschild cohomology of finite group algebras
  • DOI:
    10.2140/pjm.2021.313.1
  • 发表时间:
    2020-05
  • 期刊:
  • 影响因子:
    0.6
  • 作者:
    D. Benson;R. Kessar;M. Linckelmann
  • 通讯作者:
    D. Benson;R. Kessar;M. Linckelmann
Structure of blocks with normal defect and abelian inertial quotient
具有正态缺陷和阿贝尔惯性商的块的结构
  • DOI:
    10.1017/fms.2023.13
  • 发表时间:
    2023
  • 期刊:
  • 影响因子:
    0
  • 作者:
    Benson D
  • 通讯作者:
    Benson D
Arbitrarily large Morita Frobenius numbers
任意大的 Morita Frobenius 数
  • DOI:
    10.2140/ant.2022.16.1889
  • 发表时间:
    2022
  • 期刊:
  • 影响因子:
    1.3
  • 作者:
    Eisele F
  • 通讯作者:
    Eisele F
Bijections of silting complexes and derived Picard groups
淤积复合体和派生皮卡德群的双射
Hochschild cohomology of symmetric groups and generating functions, II
对称群和生成函数的 Hochschild 上同调,II
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关于两个对称幂L函数的对数之差的值分布
  • DOI:
  • 发表时间:
    2016
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  • 影响因子:
    0
  • 作者:
    Radha Kessar;Shigeo Koshitani and Markus Linckelmann;松本耕二
  • 通讯作者:
    松本耕二
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有限群,其特征二域上的第一个嘉当不变量是二
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  • 发表时间:
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  • 作者:
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  • 通讯作者:
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知道了