La structure multiplicative des entiers et les nombres normaux

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Nos recherches porteront essentiellement sur deux applications de l’étude de la structure multiplicative des entiers. La première application portera sur la construction de familles de nombres normaux. Étant donné un entier q>1, un nombre irrationnel est appelé un nombre q-normal (ou simplement un nombre normal) si toute suite donnée de k chiffres (en base q) apparait dans le développement en base q de ce nombre selon la fréquence espérée, soit 1/qk. Bien que Borel ait démontré en 1909 que presque tous les nombres réels sont normaux, aucune méthode permettant d’établir si un nombre irrationnel donné est un nombre normal n’est connue à ce jour. Par exemple, bien que tous les mathématiciens croient que le fameux nombre p est normal, personne n’a encore réussi à le démontrer rigoureusement. Même la construction de nombres normaux est tout un défi. Nous avons exploité la complexité de la structure multiplicative des entiers (et à la fois sa régularité) pour créer de nouvelles familles de nombres normaux. En effet, même si la factorisation des entiers consécutifs est imprévisible, en contrepartie, on connait mieux la fréquence d’apparition des facteurs premiers d’un entier. C’est justement cette régularité dans le chaos de la factorisation des nombres que nous avons réussi à exploiter au profit de la construction de nouvelles familles de nombres normaux. Nos recherches consisteront à développer de nouvelles méthodes permettant de construire d’autres familles de nombres normaux. La deuxième application portera sur la question de savoir à quel point on peut approximer les fonctions additives (soit des fonctions f telles que f(mn)=f(m)+f(n) lorsque les entiers m et n n’ont pas de facteur premier en commun) par des fonctions multiplicatives (soit des fonctions f telles que f(mn)=f(m) x f(n) lorsque les entiers m et n n’ont pas de facteur premier en commun). Nous avons montré que, même si certaines fonctions additives sont « proches » de certaines fonctions multiplicatives, leurs valeurs respectives ne peuvent coïncider sur un ensemble de densité positive. Cependant, beaucoup reste à faire pour mieux comprendre la proximité de ces deux types de fonctions. Ainsi, nous tenterons de démontrer que quelle que soit la fonction additive non triviale, elle ne pourra jamais coïncider avec une fonction multiplicative sur un ensemble de densité positive.