Arithmétique des corps de nombres et la conjecture de la parité

数学与猜想

• 批准号: RGPIN-2017-05229
• 负责人: Kihel, Omar
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: Brock University
• 依托单位国家: 加拿大
• 项目类别: Discovery Grants Program - Individual
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 加拿大
• 起止时间: 2018-01-01 至 2019-12-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://www.nserc-crsng.gc.ca/ase-oro/Details-Detailles_eng.asp?id=655532
• 关键词: Arithm; tique; des; corps; de

Ma proposition de recherche porte essentiellement sur l'arithmétique des corps de nombres. Je m'intéresse plus particulièrement au calcul de l'indice d'un corps de nombres, les nombres premiers qui le divisent ainsi que le nombre de classes pour les corps quadratiques. Un corps de nombres est un corps obtenu par adjonction au corps des rationnels Q, d'une racine dans C d'un polynôme à coefficients dans Q. Lorsque le polynôme est irréductible sur Q, et est de degré n, le corps de nombres est de degré n sur Q. L'anneau des entiers de K est l'ensemble de tous les éléments de K qui sont racines d'un polynôme unitaire à coefficient dans Z. L'indice d'un corps de nombres mesure en quelque sorte l'écart que l'anneau de K soit monogène, i.e. l'existence d'un élément dans A dont les puissances consécutives forment une base de A en tant que Z-module. ******Le calcul de l'indice d'un corps de nombres et les premiers qui le divisent sont des questions classiques en théorie des nombres qui restent encore non résolues. Le premier à avoir parlé de ces premiers (appelés facteurs communs d'indices) est le mathématicien allemand Dedekind en 1878. Il n'existe cependant pas de méthode pour déterminer ces premiers ni pour calculer cet indice en général. Ce problème apparaît comme problème 22 dans la liste des problèmes ouverts dans le livre de Narkiwicz. Avec Ayad, nous avons fait beaucoup de progrès dans cette direction. Ces questions sont reliées aussi au nombre de classes d'un corps de nombres. L'arithmétique d'un corps de nombres est intimement liée à la factorisation des premiers dans son anneau d'entiers ainsi qu'au calcul du nombre de classes. À part leur côté théorique, ces questions ont beaucoup d'impact en cryptographie (sécurité informatique) et en théorie du codage. La dernière partie dans ma proposition porte sur la conjecture de la parité pour certaines courbes elliptiques. La théorie des courbes elliptiques était un ingrédient fondamental dont la preuve de Wiles pour le dernier théorème de Fermat. Le calcul du rang d'une courbe elliptique reste encore un problème ouvert. Il existe une conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer qui prédit que le rang arithmétique d'une courbe elliptique est égal à l'ordre d'annulation d'une certaine fonction L en s = 1, appelé rang analytique. Cette conjecture semble loin d'être résolue. La conjecture de la parité prédit que le rang d'une courbe elliptique est pair ou impair selon le signe de l'équation fonctionnelle de L. Je m'intéresse à cette conjecture ainsi qu'au calcul du rang pour certaines courbes elliptiques reliées aux problèmes congruents.*****

我的研究方向是关于名词的算术。我特别感兴趣的是Au对一个群的指数的计算，这些群的分类首先是类的划分。一个数是一个从Q中的系数多项式中的C中的一个曲线中获得的数，它与Au数Q相邻。Lorsque多项式在Q上是可延展的，并且是降阶的，而复数在Q上是降阶的。K元素的集合是K元素的图斯的集合，这些元素是Z中系数为一个多项式的拉西内斯。在K的一元模中存在一个度量单位，即在Z模中存在A中的一个元素，而A的一个基不包含所有的幂函数。**Le calcul de l'indice d'un corps de nombres et les premiers qui le divisent sont des questions classiques en théorie des nombres qui restent encore non résolues. Le premier à avoir parlé de ces premier（appelés factory communs d'indices）est le mathémarticien allemand Dedekind en 1878.它不存在确定费用和计算一般指数的方法。这个问题出现在纳基维奇著作中的问题清单中的第22个问题。和阿亚德一起我们在这个方向上取得了很大的进步。 这些问题也不依赖于一个军团的等级Au nombre。计算一个类的个数时，要考虑到在第一个类的个数的计算中，总理的因式分解。这些问题对密码学（信息安全）和编码理论有很大的影响。最后一部分在我的提议中涉及对某些省略原因的猜测。椭圆轨道理论是怀尔斯为费马最后一个理论所作的重要基础。椭圆曲线的范围的计算还存在一个问题。Birch和Swinnerton-Dyer提出了一个猜想，即在s = 1的情况下，椭圆曲线的算术范围等于一个确定的函数L的环的级数，称为解析范围。这一猜想已成为现实。假设椭圆曲线的范围是对的，或只损害L函数方程的符号。我对这一猜想很感兴趣，因为它是用Au方法计算同余问题的某些椭圆函数的范围。*