基于几类特殊指数的编码和密码函数的构造

The quadratic exponents, Dillon exponents, the generalized Coulter-Matthews exponents and the generalized Niho exponents over finite fields have shown good algebraic properties. While the quadratic exponents are widely used in the constructions of cryptographic functions and linear codes, the others have not been sufficiently studied. There are many unsolved problems concerning the Dillon exponents, the generalized Coulter-Matthews exponents, the generalized Niho exponents and other related exponents. Among these unsolved problems we shall concentrate on the following problems: (i)determining the Walsh spectrum of some power functions defined by these exponents; (ii)constructing some new bent functions and some new vectorial bent functions from these exponents; (iii)constructing some new permutation polynomial from these exponents, and investigating their cryptographic properties; (iv)constructing new linear codes with few nonzero weights and optimal parameters from these exponents, and investigating their weight distributions. The research topics proposed here can be essentially reduced to determining the value distributions of some exponential sums or investigating the number of roots to some equations over finite fields. By applying the theory and techniques from finite fields, number theory, coding theory and algebra curves theory, we aim to propose some new approaches and techniques to solve the problems arising from the applications of these three classes of exponents. The outcome in this project will provide more cryptographic functions and linear codes with better properties for cryptography system, communication system and data storage devices.

二次指数、Dillon指数、广义Coulter-Matthews指数和广义Niho指数是有限域上具有较好代数性质的几类指数。二次指数已被广泛用于密码函数和编码的构造，而其余指数的应用研究还不够深入。项目围绕Dillon、广义Coulter-Matthews、广义Niho及其他相关指数开展以下研究：1)确定某些指数所定义的幂函数的Walsh谱；2)基于这些指数构造Bent函数及向量Bent函数；3)基于这些指数构造置换多项式并研究分析所得置换的密码学性质；4)基于这些指数构造具有较少非零权重的线性码并确定重量分布。以上研究问题可归结为考察有限域上某些指数和的取值分布或讨论某些方程根的存在性以及根的计数问题。项目将结合有限域、数论、编码、代数曲线等理论，提出一些新的数学技巧和方法，解决以上指数在构造密码函数和编码中出现的问题，为密码和通信系统以及数据存储设备等提供更多性能优异的密码函数和编码。

基于有限域上一些特殊的指数及函数，项目研究了某些指数定义的幂函数的Walsh谱，利用特殊的指数或函数构造一些性能优异的密码函数与线性码。在项目的资助下，共发表期刊论文16篇，其中5篇发表在期刊IEEE Transactions on Information Theory(TIT)上，5篇发表在Cryptography and Communications(CCDS)上，2篇发表在Finite Fields and Their Applications(FFA)上。在项目在研究的过程中重点关注了Niho指数、二次指数等特殊的指数，在Walsh谱的计算、密码函数的构造及线性码的构造方面取得了一些重要的成果，具体介绍如下：.（1）解决了有关Niho指数Walsh谱计算的两个重要问题，一个是Dobbertin教授1999年提出的公开问题，一个是Niho在1972年提出的一个猜想。这两个问题是编码研究和序列设计领域的重要问题，相应的研究结果均发表于TIT上。.（2）基于Niho指数或二次函数构造一些新的置换多项式、双变量形式的4差分置换及APN函数，分析了一些低差分置换多项式的密码学性质。所取得的研究结果发表在TIT、CCDS、DCC等重要期刊上，部分成果在重要国际会议上进行了交流，受到国际著名学者Michael Zieve教授和Claude Carlet教授等研究同行的重点关注。.（3）通过分析生成多项式，利用常规构造法和定义集构造法，构造了一批新的线性码，确定了部分码的参数及重量分布，讨论了部分码在构造LCD码与2-设计中的应用。研究结果发表在FFA、TIT等重要期刊上。.除以上研究成果外，我们对原有的研究问题还进行了拓展，在密码函数的差分谱计算方面也取得了一些重要的研究结果，确定了一些幂函数的差分谱。项目所取得的成果丰富了密码函数与编码的研究理论，研究过程中发展的数学方法对相关问题的研究有重要的参考价值，同时项目中所构造的密码函数与线性码在工程领域有潜在的应用价值。

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