图与地图的对称性研究

利用有限群理论，结合拓扑、组合和图论方法研究组合结构的对称性已经成为国际学术界一个非常活跃的研究领域，在信息科学、计算机科学和通信领域有着广泛的应用。本项目侧重研究图和地图的对称性，研究它们的代数性质和结构性质。具体内容如下：本原图研究，包括点本原图、点双本原图和边本原图，特别是长期未解决的四度、五度边本原图分类；对称图研究，包括给定阶的对称图分类和自同构群构造，重点是基础图和五度对称图；半弧传递图研究，包括具有特殊性质的半弧传递图构造与分类，特别是4倍素数阶半弧传递图分类等未解决的公开问题；图的地图同构类和等价类研究，重点是著名图类的一般地图、reflexible地图和自Petie对偶地图的同构类计数及正则图类的地图等价类泛函方程建立与求解；图在曲面上嵌入研究，重点是嵌入的最小、最大亏格及亏格分布；网络设计与优化研究，重点是凯莱图网络和陪集图网络的设计及相关网络参数研究。

本项目致力于群论在图论中应用，取得了系列创新成果。在边本原图分类方面获得突破，完成4度和5度边本原图分类，它是自1973年著名代数图论专家Weiss完成三度边本原图分类以来首次取得的实质性进展，分别发表在组合界顶级杂志JCTB和代数组合界顶级杂志JACO。确定图的全自同构群是代数图论基础性研究，其成果被广泛应用于其它研究领域，本项目研究了弧传递图和双凯莱图自同构群：解决了著名代数图论专家Godsil于1983年提出的公开问题，即2幂阶非正规弧正则凯莱图的存在性；确定了5度对称图点稳定化子结构，这是著名图论大师Tutte于半个世纪前确定3度对称图点稳定化子以来得到的一个重要进展。对称图分类一直是代数图论研究热点，本项目在小度数对称图分类方面获得多项创新成果，特别是最近完成的存在可解弧传递自同构子群的连通3度基本图分类，在发表后不到一年的时间内由Elsevier统计的下载量高达275次。网络设计与优化是本项目另一研究重点，我们对平衡立方体、膨胀立方体等著名网络进行了深入探索，在网络泛圈性、网络诊断度、网络连通度方面取得重要进展，如发表在信息科学顶级杂志Information Sciences的文章推广了我国著名网络理论专家徐俊明教授等关于平衡立方体网络在泛圈性方面的成果。另外，本项目还在地图同构类计数、图的正则覆盖等方面取得理想成果，特别2倍素数阶三度对称图的边传递循环和二面体覆盖图分类是目前得到的仅有的几类关于无限图类正则覆盖方面成果之一，发表在组合界著名刊物Combinatorica。本项目部分资助了3次国际会议，特别是2014年8月召开的国际数学家大会《组合与图论》卫星会议，300余人参加，其中含多名科学院院士，两名美国科学院院士做大会邀请报告。资助项目组成员到国外大学进行合作研究或参加国际会议10余次，参加国内学术会议10余次，其中申请人多次做大会邀请报告，如2014年11月在广州举行的第六届全国组合数学与图论大会上做大会邀请报告、2015年7月在兰州举行的图与组合算法会议（暨第八届国际工业与应用数学大会卫星会议）上做大会邀请报告等。资助国外同行来我校合作研究10余次，国内专家来我校做报告10余次。项目还资助7名博士生完成学业，发表SCI科研论文24篇。

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