临界点理论及其在非线性偏微分方程中的应用

本项目拟研究临界点理论中一些最新方法，包括新的分裂定理和新的 Morse 不等式以及序区间和半个序区间山路定理，并且研究一些非线性方程中的一些前沿问题。具体研究包括：（1）研究新的临界点存在性理论并在此基础上研究非线性椭圆问题以及Hamilton系统多重解的存在性问题和分支问题。（2）建立新的单调公式以及Harnack微分不等式。（3）研究基态流形上带磁场的Poincare不等式。（4）研究Fucik 谱及相应泛函的临界点临界群计算和跳跃非线性问题。这些理论及应用包括许多具有挑战性的问题如区域高维情况下的 Fucik 谱线的基本性质的研究是长期以来人们关注的热点问题，几十年来进展甚微，我们希望利用一些新的思想和方法来研究这些问题。这些基本问题的研究和解决不仅会推动临界点理论本身的发展，而且从定性和定量两方面为研究非线性方程解的存在性，多重性以及变号性提供新的工具.