渗流及相关随机系统的极限行为研究

本项目研究渗流及其相关随机系统的极限行为。一方面，对一类从二维渗流构造的离散随机网络，我们研究其不变原理：即探求其在适当空时标度变换下对Brownian Web的收敛性。Brownian Web 可以理解为网络形式的"正态"随机元，它是一族交互作用布朗运动在适当拓朴下的紧化。另一方面，利用渗流的理论和方法，我们研究现实网络（real-world networks）（一类随机图过程）的极限度分布（degree distribution）的存在性，进而探求模型展现不同类型极限度分布（包括Power Law型、Exponential 型分布等）的内在决定机制，研究极限度分布可能存在的相变现象。Power Law型度分布是现实Scale-Free网络（包括Internet网络）的重要特征，其形成机制是随机网络研究领域关心的重要课题。

本项目研究渗流及相关随机系统的极限行为。通过三年的研究，我们已基本完成项目的研究任务。下面本人就项目研究所取得的学术成果作简要陈述。. 项目研究主要侧重于两个方面，一，渗流系统的极限行为；二，随机复杂网络的极限度分布。在渗流的极限行为方面，我们研究了有限一维Bernoulli渗流系统的最大开串的大数律，极限分布和相关大偏差问题。完成论文Large deviation behavior for the longest head run in an IID Bernoulli sequence。该文已投Journal of Theoretical Probability, 且已经完成第二修改稿，将于近期发表。在这方面，我们还将上述结果推广到强遍历马氏链的情形，对可数状态空间上的强遍历马氏链{Xn}，我们证明有限序列{Xn:0<n<N}的各相关串(cluster)同样满足大数律，极限分布存在，并在一定程度上相关大偏差结论成立。这里我们完成论文Some results associated with the longest run in a strongly ergodic Markov chain，该文已投数学学报英文版，现已通过初审。. 在随机复杂网络方面，我们发表了两篇论文。这两篇文章分别研究BA机制和copying机制下随机网络的演化，我们证明，若在演化过程中存在边或点的删除，系统的极限度分布展现出临界现象。两篇文章首次揭示了随机网络度分布的临界现象，演示了网络度分布从轻尾，次轻尾到重尾的完美过渡。第一篇文章为On the degree sequence of an evolving random graph process and its critical phenomenon，该文发表在Journal of applied probability；第二篇文章为Phase Transition on The Degree Sequence of a Random Graph Process with Vertex Copying and Deletion，发表在Stochastic Processes and their Application。. 在项目资助下，我们还研究了其他概率统计问题，发表论文一篇，一篇接受，一篇在审。

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