围绕申请书中提出的研究任务，我们开展了一系列有效的研究，得到了诸多令人满意的结果，顺利地完成了项目预定的任务。 . 首先，我们对一些重要的范畴、环、代数的低阶K群进行了比较深入的研究。我们引入了局部有限BIB-秩和常数BIB-秩的概念，利用BIB-秩，我们给出了半局部环(不必交换)上有限生成投射模是自由的充分必要条件，极大地推广了Serre在局部环的相应经典结果；同时，我们还研究了K0群的行列式映射，给出了它们的新刻画；进一步地，我们研究了K0群的状态空间，得到了由偏序阿贝尔群的同态所诱导的状态空间的仿射映射是单、满及双射的条件，由此建立了半局部环的K0群的状态空间与其模去Jacobson根而得到的商环的K0群的状态空间之间的联系，推广了Alfaro等人的结论和Goodearl等人的结论。. 其次，我们对一些重要的范畴、环、代数的相对同调理论开展了深入探讨与研究。我们利用给定的模类Q和半对偶化模C，定义了新的模类Q(C)，给出了Q(C)的右正交模类是一个特殊的预盖类的条件；同时，我们将关于Wakamatsu-倾斜模的一些结论成功地运用到Auslander 类 和Bass 类这两类重要的模类的研究中，得到了这两类模类的新刻画；进一步地，我们还对可分范畴的相对投射维数及逼近理论进行了深入的研究，统一和推广了Araya等人、Auslander等人、Avramov等人、Christensen等人、Holm等人、Sather-Wagstaff等人关于G-维数为0的模、全自反模、Gorenstein投射模、Gorenstein平坦模、C- Gorenstein投射和C- Gorenstein-平坦模等模类的左分解的一些经典维数结果。. 最后，我们对一些重要的环（代数）进行了进一步的深入研究。我们引入了弱reversible环的概念，给出了这类环的刻画，推广了Kim 和Lee的相关结果；同时，我们得到了一个环是弱Armendariz环的充分必要条件。. 项目申请者的八名博士研究生参与了该项目，其中六人顺利毕业并获得博士学位，另外两人在读。本项目组成员完成论文（标注基金资助的论文）十九篇，其中发表SCI论文十一篇，被SCI杂志接受发表论文七篇。