描述集合论的研究对象是Polish空间上的各类型具有良好定义的子集，例如Borel集、解析集和射影集。很多描述集合论的问题都牵涉到现代公理集合论中对于序数、基数以及决定性公理AD的研究。利用描述集合论来研究Polish群在Polish空间上的作用，以及Polish空间上的等价分类问题，是对经典的代数不变量理论的推广。该研究方向的主要目标是：在不同数学分支中出现的等价分类问题之间建立起相互的归约关系，并利用Borel复杂度加以刻划。本项目拟研究Polish群作用理论中的两个相关的公开问题：Surjective Universal问题和Polishable子群的Borel复杂度问题。两个问题共同采用的关键方法是利用自由群在某些距离下的完备化群。