不完备市场中的美式金融衍生产品定价

The research about the financial derivatives pricing model is a necessary condition for the normal running financial market. A large proportion of derivatives in the market is American derivative, whose pricing mechanism is complicated and difficult. Until now, the complete market has been a necessary assumption in most of the studies about the properties of the American derivatives pricing models. But the actual market is complicated and incomplete. So, it is necessary to study the American derivatives pricing model in incomplete market because the study can make us more effectively describe the actual pricing law, give more rational price. There are two aims in this project. One is to reveal some properties of the pricing law, the price, the optimal strategy, and the hedging strategy in some important American derivatives pricing models under incomplete market, and give its computing method and computing program, and do some empirical research. The other is to theoretically estimate how large the pricing error is impacted by the two usual model assumptions, i.e., complete market and deterministic parameter functions. The American derivative pricing model in incomplete market in this project is a Dynkin game problem with forward-backward stochastic differential equation, which can be transformed into a partial differential variational inequality or a backward stochastic partial differential variational inequality with quasi-linear differential operator. And we can in-depth study them by partial differential equation method or backward stochastic partial differential equation method.

关于金融衍生产品定价的研究是保证金融市场正常运转的必要步骤。美式衍生产品在衍生产品中占有很大比重，其定价机制复杂，具有一定的难度。目前大部分关于美式衍生产品定价模型性质的深入研究是基于完备市场假设的。但现实的市场是复杂的、不完备的。为了更加有效地刻画其定价规律，得到更为合理的价格，开展非完备市场中的美式衍生产品定价研究是非常必要的。本项目主要进行如下两类研究：一、揭示在不完备市场假设下，一些重要的美式衍生产品的定价机制、价格、最优实施策略、对冲策略的性质，给出其计算方法，编写其计算程序，并进行一定的实证研究。二、从理论上研究市场上常用的两种模型简化假定(市场完备、市场参数是确定型函数)对衍生产品的定价有多大的影响。非完备市场中的美式衍生产品定价模型可以描述为一个正倒向随机微分方程的Dynkin对策问题，然后转化为一个拟线性微分算子的偏微分变分不等式或倒向随机偏微分变分不等式进行深入的研究。

美式金融衍生产品是现代金融市场不可缺少的部分，本项目之前关于美式衍生产品的研究大部分是基于完备市场的假设，但市场是复杂的、非完备的。为了了解实际市场中美式衍生产品的定价、运行机制，促进金融市场的繁荣发展，本项目对非完备市场假设下美式衍生产品的定价模型进行了研究。.从数学上具体而言，本项目在马尔科夫框架和非马尔科夫框架下，将美式衍生产品定价问题抽象为一个“正倒向随机微分方程描述的Dynkin对策问题”。然后研究该对策问题与相应偏微分变分不等式(PDVI)问题(马尔科夫假设下)、倒向随机偏微分变分不等式(BSPDVI)问题(非马尔科夫假设下)之间的联系，通过研究相应PDVI和BSPDVI解的存在唯一性，解和自由边界的性质来了解美式衍生产品价格和最优实施策略的性质。.经过四年的研究，我们获得了预期的结果。具体而言，在马尔科夫(非马尔科夫)框架下，证明了相应的验证定理，说明了模型是有意义的，可以通过相应的PDVI(BSPDVI)的解和自由边界来描述非完备市场下美式衍生产品的价格和最优实施策略。在一定条件下，证明了PDVI和BSPDVI强解的存在唯一性。并且对于一些具体的美式衍生产品，如美式看涨/看跌期权、重置期权、俄式期权和可转换债券的性质进行了详细的研究，获得了一些重要的结果，并编写了计算程序。证明了当模糊参数收敛到0时，非完备市场下的美式衍生产品价格收敛到完备市场下的价格。.本项目的结果具有很好的实际意义，能够帮助业界更加深入、精准地了解实际市场中美式衍生产品的定价机制，准确、迅速地确定产品的价格、最佳实施策略和对冲策略。可以让业界认识到常用模型简化方法(假定市场完备、假定市场参数是确定型函数)的优劣性或合理性。本项目的结果也具有很好的理论意义，该结果加深了我们对随机控制与偏微分方程联系的理解，发展了BSPDE的理论方法和应用研究。

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