有限域上常循环码及其在量子码中的应用研究

Constacyclic codes over finite fields have a rich algebraic structure, and encoding and decoding circuits can be performed easily. Thus, constacyclic codes have had an extensive application in practice. The project considers constacyclic codes as a target, and contains two parts: Hermitian self-dual constacyclic codes and quantum constacyclic codes. First, using cyclotomic cosets and ideal theory in finite commutative rings, we establish the structure of constacyclic codes over finite fields and their Hermitian dual codes, and study the existence of Hermitian self-dual constacyclic codes over finite fields, generator polynomial, enumeration, and distribution. Second, using the structure of constacyclic codes and their dual codes, we establish some conditions of the existence of Hermitian self-orthogonal constacyclic codes over finite fields and construct Hermitian self-orthogonal constacyclic codes over finite fields. Finally, in terms of the relation between classic error-correcting codes and quantum error-correcting codes, we construct quantum codes with good parameters by applying Hermitian self-orthogonal constacyclic codes over finite fields. In particular, we construct new quantum maximal distance separable (MDS) codes. The project not only enriches the theory of classic error-correcting codes over finite fields, but also determines a method of constructing quantum codes. This provides a scientific basis for digit and quantum communications.

有限域上常循环码具有丰富的代数结构，由于其编码与译码电路容易实现，因而在实践中有着广泛的应用。本项目以常循环码作为研究对象，研究内容包括两部分：有限域上厄米特自对偶常循环码与量子常循环码。首先，利用有限交换环的理想及分圆陪集理论建立有限域上常循环码及其厄米特对偶码的结构理论，研究厄米特自对偶常循环码的存在性，生成多项式，数目及其分布情况。其次，利用有限域上常循环码及其厄米特对偶码的结构理论，确立有限域上厄米特自正交常循环码的存在条件，构造有限域上厄米特自正交常循环码。最后，根据经典纠错码与量子纠错码之间的联系，利用有限域上厄米特自正交常循环码构造参数较好的量子码，特别地，构造新的量子最大距离可分(MDS)码。本项目研究不仅丰富有限域上经典纠错码理论，而且给出构造量子纠错码的新方法，为实现数字通信和量子通信可靠性提供理论依据。

随着量子计算与量子通信的发展，量子纠错理论收到广泛关注。量子纠错理论研究的一个核心问题是构造性能良好的量子纠错码，构造最大可能的极小距离的量子纠错码自然成为量子纠错码研究的重要主题。有限域上常循环码具有丰富的代数结构，是产生或构造纠错码良好的码源。本项目考虑了利用常循环码构造了参数优良的量子纠错码。首先，给出了有限域上常循环码及其厄米特对偶码的结构和厄米特自正交常循环码存在的条件；其次，根据经典纠错码与量子纠错码之间的联系，利用有限域上常循环码构造了良好参数的对称的量子纠错码，对称的量子最大距离（MDS）码，非对称的量子最大距离（MDS）码以及最优的量子卷积码。最后，利用多项式剩余类环上常循环码，通过等距映射构造了具有良好参数的量子纠错码。同时，本项目也研究有限域与有限环上常循环码的其它应用，利用有限域上常循环码构造了最大距离（MDS）符号对码、线性互补对偶（LCD）码以及几乎彼此无偏基组(AMUB)，利用有限环上常循环码构造了最优的线性码与低相关的序列。本项目研究结果不仅丰富了经典纠错码理论，而且提供了构造量子纠错码的一种新方法，为实现数字通信与量子通信提供可靠的理论依据。本研究在量子码的构造方面的成果具有重要的科学意义，势必在未来的量子通信中发挥重要作用。

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