流体力学及相关问题的数学理论

我们首先引入一类全新的Besov-Sobolev型的函数空间，并证明了3维各向异性Navier-Stokes方程在此空间取小初值时的整体适定性，特别地，该结果证明了3维各向异性Navier-Stokes方程具有高频震荡初值的整体适定性；进一步通过引入加权Chemin-Lerner型的空间，我们证明了只要初始速度的两个分量充分小，3维各向异性的Navier-Stokes方程存在整体唯一解；此结果还被我们进一步推广于3维非齐次不可压缩Navier-Stokes，我们证明了只要初始密度充分靠近某一正常数且初始速度的两个分量充分小，三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程在临界空间中存在唯一解。最近我们利用热算子的极大正则性定理，将此结果推广至最佳情形。.对于可压缩流体的锥体激波,我们证明了超音速激波的整体存在性及稳定性，同时证明了跨音速激波的非稳定性，从而基本回答了空气动力学数学理论中的一个公开问题（见Courant 和Friedrichs的著作<<Supersonic flow and shock waves>>中（pages 317-318）的具体描述）. 对于来自流体力学中的非线性波动方程，退化双曲方程或可压缩Euler方程组，我们还系统研究了整体解和爆破问题，取得了系列深入的工作。