黎曼流形的谱及其相关问题的研究

调和函数可以看成谱为零的Laplace算子的特征函数，我们在完备单连通的非正曲率的黎曼流形上证明了一个有界调和函数的存在性定理，这一定理能把截面曲率介于两个负常数之间的流形、第一类典型域RI(n,n)(n>1)以及第二类典型域RII(n,n)(n>1)的已知结果作为其特例，从而部分回答了Yau的第二个120问题集中的第47问题（发表于Math. Ann. 见[1]）。在与谱参数相关的研究问题中，我们就流体力学的vortex filament理论中出现的二阶和三阶逼近，利用para-Kahler几何的理论，进行了完整的几何刻画（参见[2-5]）。我们还就具有不可缩伸缩商拟共形映射的进行了研究，提出了具有弱不可缩伸缩商拟共形映射的概念，并且证明了其存在性，使得该类问题的研究取得了一定的进展（参见[6,7]）。要指出的是，我们关于双调和算子Δ2的特征值的等周不等式的研究方面还没有取得预期的进展。