偏微分方程解的量子化问题是一个重要的问题, 例如调和映照中大家熟知的能量恒等式. 我们讨论一类半线性椭圆型方程(非线性项在Trudinger-Moser嵌入意义下临界增长)解的量子化问题. Druet, Struwe, Martinazzi等人在欧氏情形下得到了肯定的答案, 我们考虑紧致无边黎曼曲面的情形, 也证明了完全类似的结论. Trudinger-Moser不等式极值函数的存在性已有很多结果, 例如Carleson-Chang证明极值函数在单位圆盘上存在, Flucher和Lin将此结果推广为一般区域情形, Li证明紧黎曼流形上Trudinger-Moser不等式的极值函数也存在. 在本项目中, 我们证明Adimurthi-Druet型以及Hardy型Trudinger-Moser不等式的极值函数存在, 这推广了以往所有的结果. 我们还讨论了与高斯曲率有关的Trudinger-Moser不等式. 此外, 我们还得到了拟线性方程非平凡解的存在性结果.