Moser-Trudinger不等式(简称M-T不等式)是研究共形几何的重要工具之一。本项目研究M-T不等式和共形几何中关于Paneitz算子的预定Q-曲率问题。我们首先用blow-up分析方法在向量值函数空间和向量丛上建立M-T不等式。其次讨论Adams版本的M-T泛函的极值函数的存在性，该存在性问题的解决可以使预定Q-曲率问题得到重大突破。然后改进M-T不等式的最佳常数，新不等式成立与否跟流形的第一特征值有关，这在分析上很有意义。此外在M-T不等式的研究过程中,测试函数构造方法的多样性和技巧性深刻揭示了M-T泛函极值函数的本质。预定Q-曲率问题的研究目前大都采用椭圆型方程的方法，而我们用flow的方法来研究。该问题的研究不仅让我们探求流形上存在一个Riemann度量使该Riemann流形的Q-曲率刚好是预先给定的函数的条件，而且必将产生出新的关于四阶非线性抛物型方程的研究方法。