自相似过程在诸如计量经济、网络流量、通信、湍流、图像处理、金融、水文学等各种科学领域中有着实际的应用。Hermite过程是自相似过程的具有长记忆性的一类特例，它产生于所谓的非中心极限定理，著名的分数布朗运动、Rosenblatt过程均是它的特例，最简单的Hermite过程是分数布朗运动，而Rosenblatt过程是Hermite过程类中最简单的非高斯过程，在一般情况下，Hermite过程均不是Markov过程或半鞅，并且非高斯Hermite过程的研究比分数布朗运动困难的多。我们的动机也是理论上的，来自于最近越来越多的关于很一般随机过程的随机积分的研究，我们确信这个过程提供一个重要与有意义的例子，能作为最近建立的一般随机分析技巧的一个显著实验平台。另一方面，受各种不确定性与金融问题的激发，彭实戈院士建立起来了G-期望框架下的随机分析，该分析以其扎实的实际背景与丰富的研究内容，已经变成了重要的研究方向。存在大量未被研究的问题，诸如G-框架下随机变量的相依性以及G-布朗运动的各种积分泛函等等，这些激发我们研究G-期望框架下的随机分析的兴趣。.本项目主要研究了在G-期望框架下的Brownian运动的一些随机分析问题、Hermite过程的随机分析及其相关问题，我们建立了G-Brownian运动的二次变差与局部时的积分法，给出了G-布朗局部时的Hilbert变换与分数阶导数，建立了G-期望框架下指数鞅的Kazamaki法则，建立G-期望框架下的Bessel过程，研究了G-期望框架下随机变量的长（短）记忆性与弱收敛，基于此记忆性与弱收敛我们建立了G-期望框架下的的分数布朗运动并讨论一些相关问题，我们讨论了G-Brownian运动驱动的随机（泛函）微分方程与倒向随机微分方程等问题。建立了Hermite过程特别是Rosenblatt过程的逼近，建立了分数布朗运动及其相关过程的二次变差，研究了由分数布朗运动与Rosenblatt过程驱动的随机泛函（偏）微分方程与一些积分泛函等问题。