Reissner-Mindlin板问题和变分不等式的自适应方法

研究了弹性力学问题自适应方法及收敛性和最优性。通过提出一个改进的误差估计子，证明了Stokes问题自适应高次协调元方法的收敛性。同时，通过标准的插值算子，充分发掘非协调线性元的守恒性，证明了速度和压力的拟正交性，从而证明了Stokes问题标准的自适应非协调线性元方法的收敛性。提出一个新的提升算子，证明了后验误差估计子的离散可靠性，从而证明了Stokes问题自适应非协调线性元方法的最优复杂性。结合模型椭圆问题自适应方法收敛性和最优性结果，得到一类Reissner-Mindlin板问题自适应方法的收敛性和最优性。利用C1-Q2元和单元弱连续性质，给出四阶问题两个矩形单元可靠有效的后验误差分析；通过Morley元的标准插值算子，充分利用其连续性质和守恒性质，证明了Morley元方法的拟正交性，证明了自适应Morley元方法的收敛性;构造了一个新的提升算子，证明了后验误差估计子的离散可靠性，证明了自适应Morley元方法的最优复杂性。继续完善Reissner-Mindli板问题有限元方法后验误差分析理论，整理、修改和发表前期结果。.研究二阶椭圆障碍问题自适应方法的收敛性和最优性：通过利用一个单位分解，将问题局部化，然后充分考虑拉格朗日乘子的非正性，证明了一个可靠有效后验误差估计子的离散可靠性，从而证明了自适应方法的最优复杂性.研究四阶问题低阶有限元方法及误差估计。在矩形宏单元网格上，提出了一个C1连续的双二次元，证明了所构造的有限元空间是完全的C1-Q2 空间，构造了此元的一个Girault-Scott 型插值算子，从而证明了有限元方法的最优收敛性。建立了一个恒等式将L2范数意义下的误差估计和能量范数意义下的误差估计巧妙联系起来，然后通过证明能量范数意义下误差估计的一个下界，证明了低阶有限元方法在L2范数意义下最高只有二阶收敛性不可能有三阶收敛性。.对于Adini元，证明了当特征函数充分光滑时，离散特征值都比真实特征值小。同时，利用特征值的上界和下界，构造了计算特征的高效算法。