Integral geometry for the 1-norm
Integral geometry for the 1-norm
复制标题
1-范数的积分几何
DOI：
10.1016/j.aam.2012.02.002
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发表时间：
2012
影响因子：
1.1
通讯作者：
Leinster T
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Leinster T
经典的积分几何发生在欧几里得空间，但人们可以尝试在任何其他度量空间中模仿它。特别地，可以在Rnequipped中尝试这一点，该度量来自p范数。实际上，对于1<p<∞，这已经得到了深入的研究，但对于p=1，还没有。我们发现，积分几何的1-范数具有惊人的相似之处，积分几何的2-范数，但从根本上不同的所有其他值的p。我们证明了Hadwiger型定理Rn与1-范数，和类似物的经典公式的施泰纳，克罗夫顿和久保田。我们还证明了主要的和更高的运动公式。这些结果中的每一个都非常类似于它的欧几里德对应物，但证明是完全不同的。
Classical integral geometry takes place in Euclidean space, but one can attempt to imitate it in any other metric space. In particular, one can attempt this in Rnequipped with the metric derived from the p-norm. This has, in effect, been investigated intensively for 1<p<∞, but not for p=1. We show that integral geometry for the 1-norm bears a striking resemblance to integral geometry for the 2-norm, but is radically different from that for all other values of p. We prove a Hadwiger-type theorem for Rnwith the 1-norm, and analogues of the classical formulas of Steiner, Crofton and Kubota. We also prove principal and higher kinematic formulas. Each of these results is closely analogous to its Euclidean counterpart, yet the proofs are quite different.
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