Verallgemeinerung der Witten-Methode für singuläre Räume und Einführung des entsprechenden Witten-Komplex auf singuläre Räume

本文研究了空间几何和拓扑上的一种复合黎曼流形上的Beltrami-Laplace算子的自适应谱。Wittens（分析家）将Morse理论应用于一个完全的Mannigfaltigkeit，即Laplace算子和一个变形的Morse函数.变形算子谱是用Morse-Ungleichungen方法分析得到的。这个问题是分析性的，Morse-Smale-Witten-Complex问题是一个非几何方法的问题。在这个项目中，Witten-Method für singuläre Räumen verallgemeinert und der entsprechende Witten-Komplex auf singulären Räumen eingeführt韦尔登。本文将变形的拉普拉斯算子应用于Schattenformen的复形和L2-Formen的复形，并将它们应用于单个韦尔登。在Goresky/MacPherson的理论中，变形是Morse函数的一种分层形式。因此，通过分析方法可以将复杂的变形复杂化为L2-同调的Morse-Ungleichungen韦尔登。

Das Studium des Spektrums des selbstadjungierten Beltrami-Laplace-Operators auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit erlaubt Rückschlüsse auf die Geometrie und Topologie des Raumes. Wittens (analytischer) Ansatz zur Morse-Theorie auf einer kompakten Mannigfaltigkeit besteht darin, den Laplace-Operator mit Hilfe einer Morse-Funktion zu deformieren. Das Spektrum des deformierten Operators ist einfacher und erlaubt es mit analytischen Methoden die sogenannten Morse-Ungleichungen herzuleiten. Der Vorteil dieser analytischen Herangehensweise an den Morse-Smale-Witten-Komplex liegt insbesondere in der Anwendbarkeit auf Situationen, in denen geometrische Methoden nicht greifen (unendlich-dimensionale Problem). In diesem Projekt soll die Witten-Methode für singuläre Räume verallgemeinert und der entsprechende Witten-Komplex auf singulären Räumen eingeführt werden. Dabei soll der deformierte Laplace-Operator auf dem Komplex der Schattenformen und auf dem Komplex der L2-Formen auf einem singulären Raum untersucht werden. Die Deformation wird anhand einer stratifizierten Morse-Funktion im Sinne der Theorie von Goresky/MacPherson vorgenommen. Aus dem so erhaltenen deformierten Komplex können dann insbesondere die Morse-Ungleichungen für die L2-Kohomologie mit analytischen Methoden hergeleitet werden.