Norm inflation for a non-linear heat equation with gaussian initial conditions
Norm inflation for a non-linear heat equation with gaussian initial conditions
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具有高斯初始条件的非线性热方程的范数膨胀
DOI：
10.1007/s40072-023-00317-6
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发表时间：
2023
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Chevyrev I
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Chevyrev I
本文考虑d维环面上的一个非线性热方程，其中P是一个至多3次的多项式，B是一个非全导数的双线性映射.我们证明了，如果初始条件取自一个具有特定协方差的光滑高斯场序列，则具有高概率的范数暴胀。这一结果的一个推论是不存在三维环面上带有高斯自由场且DeTurck-Yang-米尔斯热流连续延伸到其中的Banach分布空间，这补充了Cao-Chatterjee和作者与Chandra-Hairer-Shen最近的适定性结果.另一个结果是（确定性的）非线性热方程表现出范数膨胀，因此在Besov空间的每一点上都是局部不适定的;空间是端点，因为方程对于每一点都是局部适定的。
We consider a non-linear heat equationposed on thed-dimensional torus, wherePis a polynomial of degree at most 3 andBis a bilinear map that is not a total derivative. We show that, if the initial conditionis taken from a sequence of smooth Gaussian fields with a specified covariance, thenuexhibits norm inflation with high probability. A consequence of this result is that there exists no Banach space of distributions which carries the Gaussian free field on the 3D torus and to which the DeTurck–Yang–Mills heat flow extends continuously, which complements recent well-posedness results of Cao–Chatterjee and the author with Chandra–Hairer–Shen. Another consequence is that the (deterministic) non-linear heat equation exhibits norm inflation, and is thus locally ill-posed, at every point in the Besov space; the spaceis an endpoint since the equation is locally well-posed forfor every.
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