Some dimension relations of the Hirst sets in regular and generalized continued fractions
Some dimension relations of the Hirst sets in regular and generalized continued fractions
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正则分数和广义连续分数中赫斯特集的一些维数关系
DOI：
10.1016/j.jnt.2016.03.017
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发表时间：
2016-10
影响因子：
0.7
通讯作者：
Zhong Ting
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Tang Liang;Zhong Ting
设B={B n，n≥ 1}是严格递增的自然数序列，an（x）和kn（x）分别是x的正则和广义连分式的n阶偏导数.定义R（B）={x∈（0，1）：an（x）∈ B n≥ 1，且an（x）→∞ as n→∞}，G（B）={x∈（0，1）：k n（x）∈ B n≥ 1，且k n（x）→∞ as n→∞}，G¨（B）={x∈（0，1）：k n+ 1（x）-k n（x）∈ B n≥ 1，且k n（x）→∞ as n→∞}。本文证明了：若B有一个子序列{bni，i≥ 1}使得log <$ni log <$bni收敛且ni + 1 ni有界，则当n（k）=− k+ c，且c≥ 0时，dim H <$G（B）= dim H <$R（B）; dim H <$G（B）= 2 dim H <$R（B）当− k ρ≤ <$（k）≤ k时，其中<$（k）是广义连分式的参数函数，dim H表示Hausdorff维数。
Let B={b n, n≥ 1} be a strictly increasing sequence of natural numbers, let a n (x) and k n (x) be the n-th partial quotients of regular and generalized continued fraction of x, respectively. Define R (B)={x∈(0, 1): a n (x)∈ B∀ n≥ 1, and a n (x)→∞ as n→∞}, G (B)={x∈(0, 1): k n (x)∈ B∀ n≥ 1, and k n (x)→∞ as n→∞}, G¨(B)={x∈(0, 1): k n+ 1 (x)− k n (x)∈ B∀ n≥ 1, and k n (x)→∞ as n→∞}. In this paper, we show that: If B has a subsequence {b n i, i≥ 1} such that log n i log b n i is convergent and n i+ 1 n i is bounded, then dim H G¨(B)= dim H R (B) when ϵ (k)=− k+ c for some constant c≥ 0; dim H G (B)= 2 dim H R (B) when− k ρ≤ ϵ (k)≤ k for some constant ρ< 1, where ϵ (k) is the parameter function of the generalized continued fractions, and dim H denotes the Hausdorff dimension.
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