A Remark on the Arcsine Distribution and the Hilbert transform
A Remark on the Arcsine Distribution and the Hilbert transform
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关于反正弦分布和希尔伯特变换的评论
DOI：
10.1007/s00041-019-09678-w
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发表时间：
2019
影响因子：
1.2
通讯作者：
Steinerberger, Stefan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Coifman, Ronald R.;Steinerberger, Stefan
It is known that ifis a sequence of orthogonal polynomials in, then the roots are distributed according to an arcsine distributionfor a wide variety of weightsw(x). We connect this to a result of the Hilbert transform due to Tricomi: ifand its Hilbert transformHfvanishes on, then the functionfis a multiple of the arcsine distribution $$\begin{aligned} f(x) = \frac{c}{\sqrt{1-x^2}}\chi _{(-1,1)} \qquad \text{ where }~c~\in \mathbb {R}. \end{aligned}$$We also prove a localized Parseval-type identity that seems to be new: ifandhas mean value 0 on, then $$\begin{aligned} \int _{-1}^{1}{ (Hf)(x)^2 \sqrt{1-x^2} dx} = \int _{-1}^{1}{ f(x)^2 \sqrt{1-x^2} dx}. \end{aligned}$$
It is known that ifis a sequence of orthogonal polynomials in, then the roots are distributed according to an arcsine distributionfor a wide variety of weightsw(x). We connect this to a result of the Hilbert transform due to Tricomi: ifand its Hilbert transformHfvanishes on, then the functionfis a multiple of the arcsine distribution $$\begin{aligned} f(x) = \frac{c}{\sqrt{1-x^2}}\chi _{(-1,1)} \qquad \text{ where }~c~\in \mathbb {R}. \end{aligned}$$We also prove a localized Parseval-type identity that seems to be new: ifandhas mean value 0 on, then $$\begin{aligned} \int _{-1}^{1}{ (Hf)(x)^2 \sqrt{1-x^2} dx} = \int _{-1}^{1}{ f(x)^2 \sqrt{1-x^2} dx}. \end{aligned}$$
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