A Hausdorff-measure boundary element method for acoustic scattering by fractal screens
A Hausdorff-measure boundary element method for acoustic scattering by fractal screens
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分形屏声散射的豪斯多夫测量边界元法
DOI：
10.1007/s00211-024-01399-7
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发表时间：
2024
影响因子：
2.1
通讯作者：
Caetano A
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Caetano A
声软分形屏即使在表面测量为零的情况下也可以散射声波。为了解决这类散射问题，我们首次应用了边界元方法(BEM)，其中每个边界元基函数都被支持在一个分形集上，并且形成边界元矩阵所涉及的积分是关于非整数阶Hausdorff度量而不是通常的(Lebesogue)曲面度量。利用最近关于函数空间的结果，我们证明了在()中，当散射体是的紧子集，使得散射体具有Hausdorff维时，这种Hausdorff边界元的Galerkin公式是收敛的。对于一类迭代函数系统的吸引子，在一定的自然正则性假设下，证明了Hausdorff边界元的收敛速度和光滑反线性泛函的超收敛.我们还提出了实现Hausdorff边界元的数值求积例程，并通过数值(Hausdorff测度)积分估计和对分形的逆估计估计离散条件数来进行完全离散的收敛分析。最后，我们展示了数值实验，这些实验支持我们的理论结果和我们的解的正则性假设，包括关于Cantor集和Inby Cantor尘埃散射的结果。
Sound-soft fractal screens can scatter acoustic waves even when they have zero surface measure. To solve such scattering problems we make what appears to be the first application of the boundary element method (BEM) where each BEM basis function is supported in a fractal set, and the integration involved in the formation of the BEM matrix is with respect to a non-integer order Hausdorff measure rather than the usual (Lebesgue) surface measure. Using recent results on function spaces on fractals, we prove convergence of the Galerkin formulation of this “Hausdorff BEM” for acoustic scattering in() when the scatterer, assumed to be a compact subset of, is ad-set for some, so that, in particular, the scatterer has Hausdorff dimensiond. For a class of fractals that are attractors of iterated function systems, we prove convergence rates for the Hausdorff BEM and superconvergence for smooth antilinear functionals, under certain natural regularity assumptions on the solution of the underlying boundary integral equation. We also propose numerical quadrature routines for the implementation of our Hausdorff BEM, along with a fully discrete convergence analysis, via numerical (Hausdorff measure) integration estimates and inverse estimates on fractals, estimating the discrete condition numbers. Finally, we show numerical experiments that support the sharpness of our theoretical results, and our solution regularity assumptions, including results for scattering inby Cantor sets, and inby Cantor dusts.
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