The Flow of Polynomial Roots Under Differentiation
The Flow of Polynomial Roots Under Differentiation
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微分下多项式根的流动
DOI：
10.1007/s40818-022-00135-4
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
2.8
通讯作者：
Tan, Changhui
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kiselev, Alexander;Tan, Changhui
微分下多项式零点间隙的行为问题是经典的，可以追溯到Marcel Riesz。最近，Stefan Steinerberger正式导出了一个非局部非线性偏微分方程，该方程模拟了微分作用下多项式根的动力学。本文将一类三角多项式的Steinerberger偏微分方程的严格解与微分下根的演化联系起来。也就是说，我们证明了多项式导数的零点分布和PDE的对应解在任何时候都保持接近。对误差方程的传播进行分析，得到其为非线性分数阶热方程，其主项类似于调制离散分数阶拉普拉斯方程。
The question about behavior of gaps between zeros of polynomials under differentiation is classical and goes back to Marcel Riesz. Recently, Stefan Steinerberger formally derived a nonlocal nonlinear partial differential equation which models dynamics of roots of polynomials under differentiation. In this paper, we connect rigorously solutions of Steinerberger’s PDE and evolution of roots under differentiation for a class of trigonometric polynomials. Namely, we prove that the distribution of the zeros of the derivatives of a polynomial and the corresponding solutions of the PDE remain close for all times. The global in time control follows from the analysis of the propagation of errors equation, which turns out to be a nonlinear fractional heat equation with the main term similar to the modulated discretized fractional Laplacian.
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