Topological generation of exceptional algebraic groups
Topological generation of exceptional algebraic groups
复制标题
特殊代数群的拓扑生成
DOI：
10.1016/j.aim.2020.107177
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发表时间：
2020
影响因子：
1.7
通讯作者：
Guralnick, Robert M.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Burness, Timothy C.;Gerhardt, Spencer;Guralnick, Robert M.
设G是代数闭域k上的单代数群，C1，…，Ct是G中的非中心共轭类.本文考虑确定是否存在gi ∈ Ci使得<g1，.，gt>在G中是Zariski稠密的问题。首先我们建立了一个一般性的结果，证明了若Ω是G t的不可约子簇，则生成G的稠密子群的元组集在Ω中要么是空的，要么是稠密的.在特殊情形Ω= C1 × k × Ct下，通过考虑不动点空间的维数，我们证明了当G是例外代数群且t ≥ 5时，该集合是稠密的，并假定k不是有限域上的代数群.事实上，对于G= G 2，我们只需要t ≥ 4，并且这两个界限都是最佳可能的。作为应用，我们证明了例外代数群的许多忠实表示是泛自由的。在特殊情形t= 2下，我们建立了例外群的拓扑生成的新结果，这些结果对李型有限例外群的随机生成有应用.特别地，我们证明了Liebeck和Shalev关于例外群的随机（r，s）-生成的一个猜想.
Let G be a simple algebraic group over an algebraically closed field k and let C 1,…, C t be non-central conjugacy classes in G. In this paper, we consider the problem of determining whether there exist g i∈ C i such that< g 1,…, g t> is Zariski dense in G. First we establish a general result, which shows that if Ω is an irreducible subvariety of G t, then the set of tuples in Ω generating a dense subgroup of G is either empty or dense in Ω. In the special case Ω= C 1×⋯× C t, by considering the dimensions of fixed point spaces, we prove that this set is dense when G is an exceptional algebraic group and t⩾ 5, assuming k is not algebraic over a finite field. In fact, for G= G 2 we only need t⩾ 4 and both of these bounds are best possible. As an application, we show that many faithful representations of exceptional algebraic groups are generically free. We also establish new results on the topological generation of exceptional groups in the special case t= 2, which have applications to random generation of finite exceptional groups of Lie type. In particular, we prove a conjecture of Liebeck and Shalev on the random (r, s)-generation of exceptional groups.
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