Representations of fusion categories and their commutants
Representations of fusion categories and their commutants
复制标题
融合类别及其交换子的表示
DOI：
10.1007/s00029-023-00841-2
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发表时间：
2023
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Penneys, David
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Henriques, André;Penneys, David
双突变范畴是von Neumann代数的更高范畴类比。我们研究了作为酉合范畴的完全忠实表示的交换而出现的双突变范畴。利用Izumi，Popa和Tomatsu关于么(多)融合范畴表示的存在唯一性的结果，我们证明了如果和是Morita等价的酉合范畴，则它们的交换范畴与双异变范畴等价。具体地说，它们与张量类别等价：\DocentClass[12pt]{Minimum}\usepackage{amsath}\usepackage{wa ysym}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathsfs}\usepackage{upgreek}\setlong{\oddsidemargin}{-69pt}\Begin{Document}$\Begin{Aligated}\Big(\，\，{\mathcal{C}}\，\simeq_{\tExtrm{Morita}}\，\，{\mathcal{D}}\，\，\Big)\qquad\Longright tarrow\qquad\Big(\，\，{\mathcal{C}}‘\，\，\simeq_{\tExtrm{tensor}\，\，{\mathcal{D}}’\，\，\Big)。这是对Morita等价有限维代数的交换子(在某些表示中)是同构的von Neumann代数的著名结果的分类，只要这些表示足够大。我们还引入了双对合张量范畴的正性概念。对于匕首范畴，正性是一个性质(是-范畴的性质)。但对于双对合张量范畴，正性是额外的结构。我们证明了酉合范畴和允许区分的正结构，并且完全忠实的表示自动地尊重这些正结构。这是arxiv：2004.08271的出版版本。
A bicommutant category is a higher categorical analog of a von Neumann algebra. We study the bicommutant categories which arise as the commutantof a fully faithful representationof a unitary fusion category. Using results of Izumi, Popa, and Tomatsu about existence and uniqueness of representations of unitary (multi)fusion categories, we prove that ifandare Morita equivalent unitary fusion categories, then their commutant categoriesandare equivalent as bicommutant categories. In particular, they are equivalent as tensor categories: \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\begin{aligned} \Big (\,\,{\mathcal {C}}\,\,\simeq _{\textrm{Morita}}\,\,{\mathcal {D}}\,\,\Big ) \qquad \Longrightarrow \qquad \Big (\,\,{\mathcal {C}}' \,\,\simeq _{\textrm{tensor}}\,\,{\mathcal {D}}'\,\,\Big ). \end{aligned}$$\end{document}This categorifies the well-known result according to which the commutants (in some representations) of Morita equivalent finite dimensional-algebras are isomorphic von Neumann algebras, provided the representations are ‘big enough’. We also introduce a notion of positivity for bi-involutive tensor categories. For dagger categories, positivity is a property (the property of being a-category). But for bi-involutive tensor categories, positivity is extra structure. We show that unitary fusion categories andadmit distinguished positive structures, and that fully faithful representationsautomatically respect these positive structures. This is the published version of arXiv:2004.08271.
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