Variants of Lehmer's speculation for newforms
Variants of Lehmer's speculation for newforms
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莱默对新形式的推测的变体
DOI：
10.1016/j.aim.2023.109141
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发表时间：
2023
影响因子：
1.7
通讯作者：
Tsai, Wei-Lun
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Balakrishnan, Jennifer S.;Craig, William;Ono, Ken;Tsai, Wei-Lun
在莱默关于拉马努金τ函数的非零性的未解决的推测的精神下，很自然地要问一个固定的整数α是τ（n）的值还是任何给定的新形式f（z）的傅里叶系数α f（n）。我们提供了一种方法，它适用于新形式的整数系数和平凡剩余模2伽罗瓦表示，回答这个问题的奇数α。我们确定了无穷多个素数3≤ τ ≤ 37不是整系数新形式系数的绝对值的空间，并得到了τ（n）的许多显式例子。我们也得到了尖锐的下界的数量的素因子的新形式的系数。在权方面，对于奇素数的幂n，我们证明了：对于权为2 k> M±（n，m）且偶水平互质于n的新形式f，其中M±（n，m）是有效可计算常数，且为O n（m），± n m不是其系数.
In the spirit of Lehmer's unresolved speculation on the nonvanishing of Ramanujan's tau-function, it is natural to ask whether a fixed integer α is a value of τ (n) or is a Fourier coefficient a f (n) of any given newform f (z). We offer a method, which applies to newforms with integer coefficients and trivial residual mod 2 Galois representation, that answers this question for odd α. We determine infinitely many spaces for which the primes 3≤ ℓ≤ 37 are not absolute values of coefficients of newforms with integer coefficients, and we obtain many explicit examples for τ (n). We also obtain sharp lower bounds for the number of prime factors of such newform coefficients. In the weight aspect, for powers of odd primes ℓ, we prove that±ℓ m is not a coefficient of any such newform f with weight 2 k> M±(ℓ, m) and even level coprime to ℓ, where M±(ℓ, m) are effectively computable constants that are O ℓ (m).
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Balakrishnan, Jennifer S.;Ono, Ken;Tsai, Wei-Lun
通讯作者：
Tsai, Wei-Lun