Residuale Abhängigkeitsstrukturen von Extrema

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Ein Standardresultat der Extremwerttheorie sagt aus, dass die komponentenweise genommenen Stichprobenmaxima von Zufallsvektoren unter schwachen Bedingungen asymptotisch unabhängig sind. Das bedeutet, dass z. B. die Jahresmaxima von Pegelständen an benachbarten Messstationen als stochastisch unabhängig zu betrachten sind, was natürlich jeglicher Anschauung widerspricht. Die Diskrepanz lässt sich dadurch erklären, dass das asymptoische Resultat extrem langsam angenommen werden kann, und die residuale Abhängigkeit von zentraler Bedeutung ist. In der stochastischen Literatur wird diese Fragestellung bereits ausführlich behandelt im Zusammenhang 1. mit Abhängigkeitsparametern 2ter Ordnung für Folgen von Zufallsvektoren, 2. bzgl. der asymptotischen Verteilung von Stichprobenmaxima unter einem Dreiecksschema von Zufallsvektoren. Hierbei werden spezielle Verteilungen oder Verteilungsklassen für die Ausgangszufallsvektoren vorausgesetzt. Ziel der Untersuchungen ist es, Entwicklungen bzw. asymptotische Verteilungen in größerer Allgemeinheit unter einer geeigneten technischen Bedingung herzuleiten und einheitlich darzustellen. Wie in anderen Teilgebieten der Stochastik wird die ursprüngliche Aufgabe in zwei separaten Schritten durchgeführt: (a) Es wird eine Bedingung verifiziert, wozu je nach Verteilungsklasse hohe analytische Fähigkeiten notwendig sind. (b) Unter der gegebenen Bedingung werden theoretische Resultate bewiesen. Da Abhängigkeitsstrukturen im Vordergrund der Betrachtungen stehen, wird im Wesentlichen vorausgesetzt, dass die marginalen Zufallsvariablen gleichverteilt sind; d. h. es liegt der Kopula-Fall vor.